Matrice a diagonale dominante

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In algebra lineare una matrice a diagonale dominante in senso debole per righe, o più comunemente matrice a diagonale dominante per righe, è una matrice quadrata A di ordine n i cui elementi diagonali sono maggiori o uguali in valore assoluto della somma di tutti i restanti elementi della stessa riga in valore assoluto:

|a_{ii}| \ge \sum_{j=1,j \ne i}^n |a_{ij}|.

Qualora tale relazione valga in senso stretto:

|a_{ii}| > \sum_{j=1,j \ne i}^n |a_{ij}|

la matrice si definisce a diagonale dominante in senso stretto, o in senso forte, per righe.

Quando le stesse definizioni vengono date per colonne:

|a_{ii}| \ge \sum_{j=1,j \ne i}^n |a_{ji}|   e   |a_{ii}| > \sum_{j=1,j \ne i}^n |a_{ji}|

si hanno rispettivamente una matrice a diagonale dominante (in senso debole) per colonne e una matrice a diagonale dominante in senso stretto (o in senso forte) per colonne.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Valgono i seguenti teoremi:

  • Una matrice a diagonale dominante in senso stretto è sempre non singolare (cioè ha determinante diverso da zero e quindi è invertibile).
  • Ogni minore principale di una matrice a diagonale dominante è a sua volta una matrice a diagonale dominante.
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