Maggiorante e minorante

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In matematica, un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è maggiore o uguale di tutti gli elementi dell'insieme. Per poter parlare di maggiore o uguale abbiamo bisogno di una relazione d'ordine, quindi l'insieme deve essere ordinato. È sempre meglio supporre che gli insiemi di cui si tratta siano sottoinsiemi di insiemi più grandi.

Sia (X,\leq) un insieme ordinato e E \subseteq X, E\neq\empty; si dice che un elemento y\in X è un maggiorante di E se per ogni x\in E si ha x\leq y.

Analogamente, in modo duale, si definisce un minorante di un insieme E come un elemento y\in X tale che per ogni x\in E si ha x\geq y.

Se E ammette almeno un maggiorante (minorante) allora si dice che E è un insieme limitato superiormente (inferiormente). Un insieme che possiede sia maggioranti che minoranti si dice limitato.

In informatica, per lo studio dei costi di un algoritmo si utilizzano i rispettivi termini inglesi upper bound e lower bound.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

  • X=\mathbb{N}, E=\{1,2,3\}, allora i suoi maggioranti sono \{3,4,5,6,\ldots\}, notare che anche 3 è maggiorante. I suoi due minoranti sono 0 e 1.
  • X=\mathbb{R}, E=\{1,2,3\}, i suoi maggioranti sono \{x\in\mathbb{R}:x\geq 3\} e i suoi minoranti \{x\in\mathbb{R}:x\leq 1\}.
  • X=\mathbb{R}, E=\mathbb{R} non ha maggioranti né minoranti.
  • Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme \{2,3,4,5,6\} ammette come maggioranti 60 e 120; 60 è il minimo dei suoi maggioranti.
  • Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme \{20,30,40\} ammette come minoranti 2, 5 e 10; 10 è il massimo dei suoi minoranti.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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