Maggiorante e minorante

In matematica, un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento che è maggiore o uguale di tutti gli elementi dell'insieme. Per poter parlare di maggiore o uguale abbiamo bisogno di una relazione d'ordine, quindi l'insieme deve essere ordinato. È sempre meglio supporre che gli insiemi di cui si tratta siano sottoinsiemi di insiemi più grandi.

Sia $(X,\leq)$ un insieme ordinato e $E \subseteq X, E\neq\empty$ ; si dice che un elemento $y\in X$ è un maggiorante di $E$ se per ogni $x\in E$ si ha $x\leq y$ .

Analogamente, in modo duale, si definisce un minorante di un insieme $E$ come un elemento $y\in X$ tale che per ogni $x\in E$ si ha $x\geq y$ .

Se $E$ ammette almeno un maggiorante (minorante) allora si dice che $E$ è un insieme limitato superiormente (inferiormente). Un insieme che possiede sia maggioranti che minoranti si dice limitato.

In ingegneria informatica, per lo studio dei costi di un algoritmo si utilizzano i rispettivi termini inglesi upper bound e lower bound.

Esempi[modifica]

$X=\mathbb{N}, E=\{1,2,3\}$ , allora i suoi maggioranti sono $\{3,4,5,6,\ldots\}$ , notare che anche 3 è maggiorante. I suoi due minoranti sono 0 e 1.
$X=\mathbb{R}, E=\{1,2,3\}$ , i suoi maggioranti sono $\{x\in\mathbb{R}:x\geq 3\}$ e i suoi minoranti $\{x\in\mathbb{R}:x\leq 1\}$ .
$X=\mathbb{R}, E=\mathbb{R}$ non ha maggioranti né minoranti.
Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme $\{2,3,4,5,6\}$ ammette come maggioranti 60 e 120; 60 è il minimo dei suoi maggioranti.
Nell'insieme degli interi positivi, parzialmente ordinato dalla relazione di divisibilità, l'insieme $\{20,30,40\}$ ammette come minoranti 2, 5 e 10; 10 è il massimo dei suoi minoranti.