Lotto economico

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In economia, il lotto economico è un modello di gestione delle scorte che definisce la quantità ottima di acquisto in modo da minimizzare la somma dei costi di approvvigionamento, e dei costi di mantenimento a magazzino.

Il modello di ordinazione a lotti crea delle scorte di ciclo, che vengono idealmente smaltite entro l'ordine successivo. Tuttavia si noti che ordinare a lotti non è l'unica possibilità: infatti, la tecnica del Just in time, nata nell'industria giapponese, prevede che gli ordini vengano 'tirati' direttamente dalla domanda finale (e per questo si dice che il JIT è un sistema pull) e non spinti (push) da una decisione presa a priori, come avviene invece nella gestione a fabbisogno: ciò permette, quando tale tecnica è applicabile, di ridurre significativamente le scorte.

Il modello EOQ (dall'inglese Economic Order Quantity) è stato proposto da F.W. Harris nel 1913, ma è attribuito principalmente a R. H. Wilson, che per primo studiò il caso. Nella letteratura economica recente, tuttavia, è conosciuto come modello di Harris-Wilson per la gestione delle scorte.

Esistono numerose varianti ed estensioni del modello EOQ, adatte a situazioni diverse. Ad esempio, è possibile tenere conto della velocità finita di riempimento del magazzino (modello EMQ), oppure del lead time non nullo (modello del punto di riordino) per un problema multiperiodale, oppure considerare il riordino di più di un prodotto.

Il problema di base[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un'impresa che ha bisogno di materie prime per una quantità annua pari a S e che se ne approvvigioni a un prezzo unitario di p. Si ipotizzi che il fabbisogno di quelle materie prime sia costante nel tempo, e che non vi siano problemi per ripristinare le scorte. In questa ipotesi, l'azienda provvede, a scadenze regolari, a richiedere una quantità q>0 di S, in modo da avere sempre una scorta sufficiente. In magazzino, quindi, rimarrà sempre una quantità di scorte compresa fra q e 0. Volendo rappresentare questa situazione sul piano cartesiano (con il tempo sull'asse delle ascisse e la quantità presente in magazzino sulle ordinate), si avrà un diagramma a denti di sega, che mostra la funzione s(t) = scorte in t.

Ultima condizione è che, ad ogni ordine, viene addebitato all'impresa un costo di ordinazione indicato con g.

Sulla base di queste informazioni, si vuole fare in modo di minimizzare i costi variabili, acquistando una quantità idonea di S.

La gestione a lotto economico è applicabile sia agli ordini di acquisto che agli ordini di produzione. Nel caso degli ordini di produzione, viene ottimizzato il trade-off fra costo di attrezzaggio per ogni lotto e costo di mantenimento a scorta, il semilavorato è valorizzato con il costo variabile di produzione; nel caso degli ordini di acquisto, viene ottimizzato il trade-off fra costo di gestione dell'ordine e costo di mantenimento a scorta, e il particolare viene valorizzato con il prezzo di acquisto.

Se la produzione è gestita con lotto economico, la giacenza media dell'item nell'anno è pari q \over2.

Soluzione[modifica | modifica wikitesto]

Il costo totale annuo prevede tre componenti:

  • la prima è il prezzo della materia prima, che è uguale a pS;
  • la seconda è il costo di ordinazione, che è uguale a gS/q;
  • la terza è il costo di detenzione della merce (il costo che si sostiene per tenere la materia prima in magazzino), che si ritiene essere proporzionale alla quantità media delle scorte q/2 secondo una costante m.

Dunque la funzione di costo totale è uguale a:

C(q) = pS + {\frac{gS}{q}} + {\frac{mq}{2}}.

Vogliamo calcolare la quantità ottimale q^*.

Derivando possiamo studiare il comportamento di C:

C'(q) = - {\frac{gS}{q^2}} + {\frac{m}{2}}.

Si noti che quest'ultima funzione non prevede il costo annuo della materia prima (il prezzo p è scomparso). Infatti p non dipende da q.

Vogliamo trovare il minimo, per cui la derivata deve essere uguale a 0:

- {\frac{gS}{q^2}} + {\frac{m}{2}} = 0

da cui possiamo ricavare la formula per il calcolo di q^* (non considerando, per ovvi motivi, il caso in cui la quantità ottimale sia 0):

q^* = \sqrt{\frac{2Sg}{m}} .

A partire da quest'ultima espressione, è possibile ricavare il costo totale ottimizzato:

C(q) = pS + {\frac{gS}{\sqrt{\frac{2Sg}{m}}}} + {\frac{m\sqrt{\frac{2Sg}{m}}}{2}} = pS + \sqrt{2Sgm}.

Inoltre, trovando la derivata seconda, si può osservare che in q^* si ha un minimo globale nel dominio economico di C. Infatti si ha:

C''(q) = {\frac{gS}{q^3}}

che è certamente maggiore di zero, se q è maggiore di zero.

Infine il lotto economico q^* non è proporzionale a S.

Ipotesi ulteriori[modifica | modifica wikitesto]

Il modello base di EOQ si può considerare anche con nuove ipotesi:

  • un solo magazzino
  • un solo prodotto
  • magazzino a capacità infinita
  • domanda costante e deterministica
  • tempo di arrivo del lotto (lead time) nullo
  • riempimento istantaneo del magazzino
  • obbligo di evadere tutti gli ordini
  • prodotti indipendenti tra loro
  • costo di acquisto dei prodotti indipendente dalla quantità ordinata
  • vita del prodotto infinita

Formula[modifica | modifica wikitesto]

In questo caso la formula per calcolare l'EOQ per un singolo prodotto è:

q^* = \sqrt{\frac{2gS}{pm}} = \sqrt{\frac{2gS}{h}}

La formula del costo associato per unità di tempo per il lotto economico è:

Ct(q^*)= \sqrt{2gSh}

Nel caso che le consegne siano distribuite nel tempo

q^* = \sqrt{\frac{2gS}{pm(1 - \frac{S}{Hr} )}}

I termini presenti nella formula hanno il seguente significato:

  • q^* = quantità ottima da ordinare
  • g = costi fissi legati all'ordinazione
  • S = domanda del prodotto
  • p = costo unitario del prodotto
  • m = costo di mantenimento dell'unità monetaria per l'unità di tempo
  • h = costo percentuale di mantenimento per unità di prodotto per unità di tempo (h=vi)
  • H = tempo di apertura impianto
  • r = ritmo produttivo

Soglia minima di ordinazione[modifica | modifica wikitesto]

Nella prassi, si osserva sovente che un fornitore offra un prezzo unitario p_0 < p per ordini che raggiungano una soglia minima q_0. Se q^* \ge q_0, la quantità ottimale sarà sempre uguale a q^*, con la differenza che si avrà un risparmio annuo di (p - p_0)S. In generale sarà però necessario inserire come nuovo input il nuovo prezzo unitario e considerare il nuovo valore di lotto economico restituito.

Se invece q^* < q_0 le cose si complicano. Per risolvere il problema, occorre fare un confronto. Se

(p - p_0)S > {\frac{gS}{q_0}} + {\frac{mq_0}{2}} - \sqrt{2Sgm}

allora la nuova quantità ottimale è q_0. In altre parole, è sempre conveniente acquistare q_0 se:

 p_0 < {\frac{pS - {\frac{gS}{q_0}} - {\frac{mq_0}{2}} + \sqrt{2Sgm}}{S}} = p - \left( {\frac{g}{q_0}} + {\frac{mq_0}{2S}} - \sqrt{\frac{2gm}{S}} \right)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Porteus, Evan L. "Optimal lot sizing, process quality improvement and setup cost reduction." Operations research 34.1 (1986): 137-144.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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