Lemma di Dynkin

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il lemma di Dynkin, altresì detto teorema delle classi monotone, è un enunciato importante in teoria della misura che ha, tra le varie conseguenze, il teorema di unicità delle probabilità. Deve il suo nome al matematico russo Evgenij Borisovič Dynkin.

Definizioni preliminari[modifica | modifica sorgente]

Un \pi-sistema è una famiglia di parti \mathcal{I} di un insieme \Omega con le seguenti caratteristiche:

  • \mathcal{I} \ne \emptyset
  •  A,B \in \mathcal{I} \Rightarrow  A \cap B \in \mathcal{I}

Una classe monotona (detta anche \lambda-sistema) è una famiglia di parti \mathcal{M} di un insieme \Omega con le seguenti caratteristiche:

  • \Omega \in \mathcal{M}
  • A,B \in \mathcal{M}, B \subset A \Rightarrow B \setminus A \in \mathcal{M}
  •  \{ A_n \} \in \mathcal{M} ,  A_n \subset A_{n+1} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty} {A_n} \in \mathcal{M}

Definisco \sigma-algebra generata da una famiglia di parti \mathcal{F}, in notazione \sigma ( \mathcal{F} ) , la più piccola \sigma-algebra contenente \mathcal{F}; analogamente e con la notazione \lambda ( \mathcal{F} ) è definita la classe monotona generata da \mathcal{F}.

Enunciato del lemma e dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Se \mathcal{I} è un \pi-sistema contenente \Omega, allora si ha l'uguaglianza \lambda ( \mathcal{I} ) = \sigma ( \mathcal{I} ) .

Infatti, se \mathcal{I} contiene \Omega allora è evidente che \lambda ( \mathcal{I} ) è chiusa per passaggio al complementare, perché  A^c = \Omega \setminus A e una classe monotona è chiusa rispetto alla differenza insiemistica. Abbiamo provato la prima delle due caratteristiche fondamentali di una \sigma-algebra.

Operiamo ora il seguente ragionamento: se una classe di insiemi è chiusa per passaggio al complementare e per intersezioni finite, applicando le Leggi di De Morgan, essa è chiusa per unioni finite. Se inoltre una famiglia di insiemi è chiusa per intersezioni finite e per unioni numerabili crescenti (terza proprietà di classe monotona nell'elenco), allora questa sarà chiusa per tutte le unioni numerabili (altra proprietà fondante delle \sigma-algebre).

Non resta che provare la chiusura di \lambda ( \mathcal{I} ): la suddetta dimostrazione si articola in due parti.

  • A \in \mathcal{I}, B \in \lambda ( \mathcal{I} ) \Rightarrow A \cap B \in \lambda ( \mathcal{I} )
  • A \in \lambda ( \mathcal{I} ), B \in \lambda ( \mathcal{I} ) \Rightarrow A \cap B \in \lambda ( \mathcal{I} )

Non si tratta che di effettuare banali verifiche delle proprietà di \lambda-sistema sulle seguenti classi di insiemi:

  •  \mathcal{M} := \{ B \in \lambda ( \mathcal{I} ) | A \cap B \in \lambda ( \mathcal{I} ), A \in \mathcal{I} \}
  •  \mathcal{M}' := \{ B \in \lambda ( \mathcal{I} ) | A \cap B \in \lambda ( \mathcal{I} ), A \in \lambda ( \mathcal{I} ) \}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Jean Jacod e Philip E. Protter, Probability Essentials, Berlino, Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-43871-8.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica