Lemma di Artin-Rees

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In matematica, il lemma di Artin-Rees (o teorema di Artin-Rees) è un teorema della teoria dei moduli su anelli noetheriani. Prende nome da Emil Artin e David Rees, che lo dimostrarono indipendentemente negli anni cinquanta.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello commutativo unitario noetheriano, I un ideale di A, E un A-modulo finitamente generato, (E_n) una I-filtrazione stabile di E (ovvero una successione di sottomoduli di E tale che IE_n=E_{n+1}), F un sottomodulo di E. Allora:

  1. (E_n\cap F) è una I-filtrazione stabile di F.
  2. Esiste un k\geq 0 tale che I^nE\cap F=I^{n-k}(I^kE\cap F) per ogni n\geq k

In particolare, le successioni (I^nF) e (I^nE\cap F) hanno differenza limitata, ovvero esiste un k tale che I^{n+k}F\subseteq I^nE\cap F e I^{n+k}E\cap F\subseteq I^n\cap F.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

La prima conseguenza del lemma di Artin-Rees è che, se E è un modulo finitamente generato e F un suo sottomodulo, allora la topologia I-adica su F coincide con la topologia di sottospazio indotta dalla topologia I-adica su E. Da questo segue che il completamento preserva le successioni esatte di moduli finitamente generati, ovvero che il completamento è un funtore esatto nella categoria dei moduli finitamente generati.

Il lemma di Artin-Rees, inoltre, può essere usato per dimostrare il teorema dell'intersezione di Krull.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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