Legge di Stefan-Boltzmann

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La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata a volte legge di Boltzmann o anche legge di Stefan, stabilisce che la emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura:

q = \sigma \cdot T^4

dove:

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:

\sigma = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2} = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \mathrm{ \ W \ m^{-2} \ K^{-4}}.

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

Derivazione termodinamica[modifica | modifica sorgente]

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:

u = \frac 4 c q e p = \frac 1 3 u

dove:

  • u è la densità di energia,
  • c la velocità della luce,
  • q il flusso termico di irraggiamento,
  • p la pressione esercitata nel lavoro da irraggiamento.

Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

~{\rm d}U = T~{\rm d}S - p~{\rm d}V
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p\left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)_T

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p
u = \frac 1 3 T \frac{\partial u}{\partial T} - \frac 1 3 u

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

q = \sigma~ T^4

essendo σ una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di c nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

Derivazione quantistica[modifica | modifica sorgente]

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette della radiazione elettromagnetica, la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura a cui si trova il corpo e secondariamente dalle caratteristiche del corpo stesso:

q = \int_{0}^{\infty} I(\nu) ~ d \nu = \int_{0}^{\infty} I(\lambda) ~ d \lambda

dove:

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Se la legge di Planck per la radianza spettrale:

I(T) =\frac{2 hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k T}} - 1}

dove:

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

q = \int_0^{\infty} I(T) \operatorname d \lambda = \int_0^{\infty} \frac{2 h c^2}{\lambda^5}\frac{1}{ e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}} - 1} \operatorname d \lambda = \frac {2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4 = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2} T^4

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

\sigma = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2} = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \mathrm{ \ W \ m^{-2} \ K^{-4}}.

Corpo radiante reale[modifica | modifica sorgente]

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente, un corpo di un certo colore lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" invece riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

\operatorname E =\varepsilon \sigma T^4

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Peter Atkins, Julio De Paula, Chimica Fisica, 4ª ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004.ISBN 88-08-09649-1

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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