Legge di Stefan-Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata a volte legge di Boltzmann o anche legge di Stefan, stabilisce che la potenza irradiata da un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura:

$q = \sigma \cdot T^4$

dove q è l'energia irradiata per unità di superficie per unità di tempo (emittanza), T la temperatura assoluta espressa in kelvin e σ è la costante di Stefan-Boltzmann che vale:

$\sigma = \frac{\pi^2 k^4}{60 \hbar^3 c^2} = 5{,}67 \cdot 10^{-8} \mathrm{ \ W \ m^{-2} \ K^{-4}}$

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente da Boltzmann nel 1884.

Derivazione della legge

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette della radiazione elettromagnetica, la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura a cui si trova il corpo e secondariamente dalle caratteristiche del corpo stesso:

$q = \int_{0}^{\infty} I(\nu) ~ d \nu = \sigma T^4$

dove ν è la frequenza della radiazione luminosa, h è la costante di Planck, T è la temperatura, $I(\nu) d\nu$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra $\nu$ e $\nu + d \nu$. Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. La legge di Stefan-Boltzmann si ottiene dunque per integrazione su tutte le lunghezze d’onda/frequenze della Legge di Planck.

qn secondo modo, che non predice però il valore di σ, parte da considerazioni di natura termodinamica. Sono note le relazioni:

$u = \frac 4 c q$ e $p = \frac 1 3 u$

dove $\; u$ è la densità di energia, $\; c$ la velocità della luce, $\; q$ il flusso di energia per irraggiamento e $\; p$ la pressione esercitata nel lavoro da irraggiamento. Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

$~{\rm d}U = T~{\rm d}S - p~{\rm d}V$

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T - p\left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)_T$

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p$

$u = \frac 1 3 T \frac{\partial u}{\partial T} - \frac 1 3 u$

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene che:

$u = {\rm b}~T^4~$

cioè

$q = \sigma~ T^4$

essendo b la costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di c nel valore di sigma, ricavato poi sperimentalmente.

Corpo radiante reale

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente, un corpo di un certo colore lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" invece riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

$\operatorname E =\varepsilon \sigma T^4$

Bibliografia

• Peter Atkins; Julio De Paula, Chimica Fisica, 4^a ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004.ISBN 88-08-09649-1

Voci correlate

• Legge di Wien
• Legge di Rayleigh-Jeans
• Legge di Planck
• Corpo nero
• Eccitanza

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