Legge di Rayleigh-Jeans

Le leggi di Stefan-Boltzmann e di Wien empiriche per la radiazione elettromagnetica di corpo nero richiedevano l'esplicitazione della distribuzione di energia elettromagnetica in funzione della frequenza I(ν). Si consideravano i corpi composti da un numero enorme di oscillatori indipendenti con hamiltoniana del tipo:

$\mathcal{H} = \sum_{i=1}^{N} \left( \alpha_i p_{i}^{2} + \beta_i q_{i}^{2} \right)$.

In tal modo, seguendo classicamente il teorema di equipartizione dell'energia, l'energia di ogni oscillatore è

$<E_i>=k_B \cdot T$

dove k_B è la costante di Boltzmann. Per esempio per un gas monoatomico risulta:

$U = \frac{3}{2} k T N_A = \frac{3}{2}RT$

dove N_A è il numero di Avogadro ed R è la costante dei gas ideali. Per un gas biatomico:

$U = \frac{5}{2} k T N_A = \frac{5}{2}RT$

e il calore specifico nei due casi risulta:

$C = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{3R}{2} \, \, Cal K^{-1} mol^{-1}$

$C = \frac{\partial U}{\partial T} = \frac{5R}{2} \, \, Cal K^{-1} mol^{-1}$

nel caso di un solido:

$C \simeq 3R$

Questi risultati classici sono ben verificati sperimentalmente solo a temperatura ambiente. Il problema di spiegare la distribuzione dell'intensità di energia in funzione della frequenza si rende necessario per via del fatto che per un'hamiltoniana del tipo generale scritta sopra, il calore specifico e l'energia tendono all'infinito per $T \to 0$: cioè ci vuole un calore infinito per aumentare di un grado la temperatura del corpo: in chiara contraddizione con l'esperienza. La spiegazione della catastrofe ultravioletta può essere ricondotta al modello di oscillatore armonico.

In una cavita' (un corpo nero) possiamo vedere la stessa onda elettromagnetica come un oscillatore. Per un'onda stazionaria in una cavita' cubica di dimensione L deve valere

$n_x^2+n_y^2+n_z^2=\frac{4L^2}{\lambda^2}$

Nella sua analisi Lord Rayleigh ricava che il numero di modi nella cavità è dato da

$N=\frac{8 \pi L^3}{3\lambda^3}$

dE = ρdλ

da cui:

ρ = (8πkT) / λ⁴

dove p=costante di proporzionalità tra dλ e la densità di energia nel campo di lunghezza d'onda considerato; e k è la costante di boltzmann.

Tale legge funziona bene alle lunghezze d'onda elevate, ma non vale più quando le lunghezze d'onda diventano molto brevi (e le frequenze molto elevate). Infatti la legge prevede che gli oscillatori di lunghezza d'onda brevissima risultino fortemente eccitati anche a temperature ordinarie (300 K). Questo evento prese il nome di catastrofe ultravioletta dato che erano proprio questi il tipo di raggi che dovevano essere emessi dai corpi a temperature ordinarie (i raggi UV, i raggi X e i raggi gamma).

Voci correlate

• Legge di Stefan-Boltzmann
• Legge di Planck
• Legge di Wien
• Catastrofe ultravioletta

Collegamenti esterni

• Sviluppo della legge di Rayleigh-Jeans

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