Classe laterale

La classe laterale è un concetto matematico, utile nella teoria dei gruppi. Tramite questa nozione si definiscono i concetti di sottogruppo normale e di gruppo quoziente.

Definizione

Sia $(G;\cdot)$ un gruppo e sia H un suo sottogruppo e $a \in G$. La classe laterale destra (o più semplicemente il laterale destro) di H in G rappresentato da a è l'insieme:

$Ha=\{ ha : h \in H \}$

Simmetricamente si definisce la classe laterale sinistra (o laterale sinistro) di H in G rappresentato da a come l'insieme:

$aH=\{ ah : h \in H \}$

Descrizione tramite classi di equivalenza

È possibile descrivere ogni classe laterale destra come una classe d'equivalenza rispetto alla relazione d'equivalenza ∼ definita in G ponendo per $a,b \in G$:

$a \sim b \Longleftrightarrow ba^{-1}\in H \Longleftrightarrow b\in Ha.$

La classe di equivalenza contenente l'elemento g è proprio Hg: infatti g = eg, dove e è l'elemento neutro di G: quindi $e\in H$ perché H è un sottogruppo.

Anche ogni classe laterale sinistra può essere definita con una relazione di equivalenza analoga:

$a \sim b \Longleftrightarrow a^{-1}b\in H \Longleftrightarrow b\in aH.$

Proprietà

Si verifica che in ogni gruppo le classi laterali sinistre sono tante quante le classi laterali destre: tale numero, sia esso finito o infinito, è detto indice del sottogruppo H nel gruppo G, e si indica talvolta con i(H). Inoltre due qualsiasi classi laterali possono essere facilmente messe in corrispondenza biunivoca: da ciò deriva che esse hanno tutte la stessa cardinalità.

In particolare, se G è finito e ha n elementi, e una classe laterale ha m elementi, si ha $n=m\cdot i(H)$: quindi l'indice del sottogruppo H e la cardinalità di una sua classe laterale sono divisori della cardinalità di G. In particolare questo è vero per il sottogruppo H, comunque esso venga scelto, perché esso corrisponde alla classe laterale eH, con e elemento neutro di G.

In generale le classi laterali sinistre e le classi laterali destre di un sottogruppo di un gruppo costituiscono due collezioni diverse; in altre parole le due equivalenze indotte sono diverse. Un sottogruppo N di G che definisce una unica partizione, cioè tale che $gN=Ng\; \forall g\in G$, si dice sottogruppo normale di G; esso consente la definizione di un gruppo quoziente i cui elementi sono le classi laterali sinistre o, indifferentemente, quelle destre.

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