Iperottaedro

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16-cella
Schlegel wireframe 16-cell.png
Diagramma di Schlegel del policoro
Tipo Policoro regolare
Forma celle tetraedri regolari
Nº celle 16 tetraedri regolari
Nº facce 32 triangoli equilateri
Nº spigoli 24
Nº vertici 8
Cuspidi dei vertici 16-cell verf.png
(ottaedro regolare)
Simbolo di Schläfli {3,3,4}
Duale ipercubo
Proprietà convesso, regolare

In geometria quadridimensionale, l'iperottaedro (detto anche 16-cella, esadecacoro o 4-ortoplesso) è uno dei sei policori regolari. È una naturale estensione in dimensione 4 dell'ottaedro.

Come l'ottaedro è il poliedro duale del cubo, l'iperottaedro è il politopo duale dell'ipercubo.

Descrizione[modifica | modifica sorgente]

Da un punto di vista matematico, una 16-cella è l'inviluppo convesso di 8 punti nello spazio euclideo 4-dimensionale \R^4, ad esempio:

 (\pm 1,0,0,0), (0,\pm 1,0,0), (0,0,\pm 1,0), (0,0,0,\pm 1).

Ogni coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo.

Facce[modifica | modifica sorgente]

Come tutti i politopi, l'esadecacoro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

  • L'esadecacoro ha 8 vertici.
  • Ciascuna coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 8*6/2 = 24 spigoli.
  • Ciascuna tripla di vertici a coppie non opposti determina una faccia: ci sono quindi 8*6*4/3! = 32 facce (triangolari).
  • Ciascuna 4-upla di vertici a coppie non opposti determina una 3-faccia: ci sono quindi 8*6*4*2/4! = 16 facce tridimensionali (tetraedri).

Ogni vertice è collegato a 6 spigoli, 12 facce e 8 facce tridimensionali. La cuspide di un vertice è un tetraedro (sferico).

Proiezioni[modifica | modifica sorgente]

Proiezione stereografica
Proiezione nello spazio 3-dimensionale di un iperottaedro che ruota contemporaneamente su due piani ortogonali in \R^4.

Un poliedro 3-dimensionale può essere disegnato sul piano (bidimensionale): il disegno che ne risulta è generalmente l'immagine di una proiezione del poliedro sul piano. Analogamente, ogni policoro 4-dimensionale può essere proiettato nello spazio 3-dimensionale. L'immagine di questa proiezione dipende dal modo in cui il policoro è posizionato nello spazio euclideo 4-dimensionale (che in matematica è indicato con il simbolo \R^4).

Una proiezione non può descrivere completamente la geometria di un iperottaedro; sono però visibili alcuni aspetti combinatori, come le incidenze fra vertici, spigoli e facce. Nella proiezione spigoli, facce e/o celle distinte possono intersecarsi, benché siano disgiunte nel poliedro quadridimensionale.

Grafi delle proiezioni ortogonali
4-orthoplex.svg
La 16-cella mostrata in una proiezione ortogonale nel suo poligono di Petrie, con tutti i vertici connessi tra loro tranne quelli opposti.
4-demicube.svg
4-ortoplesso in un poligono di Petrie di ordine 6 con 2 vertici proiettati al centro
4-demicube graph.png
4-ortoplesso in un poligono di Petrie di ordine 4 come un tesseratto alternato
Hypercubestar.svg
Tesseratto

Sviluppo[modifica | modifica sorgente]

La 16-cella ha due costruzioni di Wythoff, una forma regolare e una forma alternata, mostrate qui come sviluppi. La seconda è rappresentata da celle tetraedriche colorate alternativamente con due colori.

Lo sviluppo dell'ipertetraedro è composto da 16 tetraedri regolari uniti in modo da avere, a due a due, una sola faccia in comune.

Sviluppi dell'esacosicoro (in forma regolare e in forma alternata)

Dualità[modifica | modifica sorgente]

L'iperottaedro è duale del tesseratto.

Relazione di Eulero[modifica | modifica sorgente]

Per questo politopo vale la relazione (4-dimensionale!) di Eulero, dove V è il numero di vertici, F è il numero di facce, S è il numero di spigoli e C è il numero di celle:

V + F = S + C.

In questo caso 8 + 32 = 24 + 16.

Modello[modifica | modifica sorgente]

Per la costruzione del modello del policoro in contesto, sia nella "versione implosa" (in cui l’involucro è costituito dal poliedro di composizione: il tetraedro regolare), che nella "versione esplosa" (in cui l’involucro è costituito dal doppio del poliedro di composizione), i materiali più indicati sono quelli trasparenti (plexiglas, ecc.), ma con il filo metallico ("scheletro essenziale", cioè vertici e spigoli) è più facile da costruire, nell’una o nell’altra versione.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett, I modelli matematici, Milano, Feltrinelli, 1974.
  • Maria Dedò, Forme, simmetria e topologia, Bologna, Decibel & Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7.
  • Luigi Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli, Enciclopedia delle Matematiche elementari, Milano, Ulrico Hoepli [1929], 1983, ISBN 88-203-0267-5.
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