Insieme positivo e insieme negativo

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In matematica, un insieme si dice positivo (rispettivamente negativo) rispetto alla misura con segno \mu se ogni suo sottoinsieme ha misura non negativa (rispettivamente non positiva).

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Formalmente, sia dato uno spazio di misura (X,\mathfrak{F},\mu), con X insieme diverso dal vuoto, \mathfrak{F} una σ-algebra di sottoinsiemi di X e \mu:\mathfrak{F}\longrightarrow\R\cup\left\{-\infty, +\infty\right\} è una misura con segno.

  • Dato un insieme E\in\mathfrak{F},\quad E\subset X, esso si dice positivo se ogni insieme E^*\subset E,\quad E^*\in \mathfrak{F} è tale che \mu(E^*)\geq 0.

In modo analogo è possibile definire un insieme negativo:

  • Dato un insieme E\in\mathfrak{F},\quad E\subset X, esso si dice negativo se ogni insieme E^*\subset E,\quad E^*\in \mathfrak{F} è tale che \mu(E^*)\leq 0.
Osservazioni
L'insieme positivo (negativo) non deve essere in alcun modo confuso con insieme di misura positiva (negativa).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  1. L'insieme vuoto è sia un insieme negativo che positivo.
  2. Ogni sottoinsieme di un insieme positivo (negativo) è ancora positivo (negativo).
  3. L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) disgiunti è positiva (negativa).

Le proprietà 2. e 3. implicano che

4.L'unione numerabile di insiemi positivi (negativi) è ancora positiva (negativa)
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