Indice di concentrazione di Gini

L'indice di concentrazione di Gini è un indicatore che offre una misura della concentrazione di variabili quantitative trasferibili.

Esempio

Esempio: il Reddito è una variabile trasferibile (da un elemento all'altro della popolazione), mentre la statura non è trasferibile. L'indice di Gini fornisce un metodo per quantificare la concentrazione del Reddito ed è così definito (viene direttamente riportata la formula del rapporto di concentrazione di Gini, ossia l'indice normalizzato):

$\mathit{R_G}=\frac{\sum_{i=1}^{n-1} \left(P_i - Q_i\right)}{\sum_{i=1}^{n-1} P_i}$

Dove i $Q_i$ sono le percentuali cumulate di T (Reddito) e i $P_i$ sono le percentuali cumulate di T in caso di equidistribuzione.

Pertanto si ha:

$\mathit{Q_i}=\frac{\sum_{j=1}^i x_j}{T}$ e $\mathit{P_i}=\frac{i}{n}$

Dove gli $x_j$ sono i dati osservati e la sommatoria va fino alla i-esima modalità di X.

L'indice è già normalizzato, in quanto la sommatoria dei $P_i$ è il massimo dell'indice, dato che, in caso di distribuzione massimante (massima concentrazione): $Q_i=0$, per $i=1,..., n-1$.

Il minimo invece è 0 perché, in caso di minima concentrazione, $P_i=Q_i$ e di conseguenza:

$P_i-Q_i=0\qquad\forall\;i, i=1,...,n-1$

Formula rapida per il calcolo del "rapporto di concentrazione di Gini".

${R_G}=\frac{\sum_{i=1}^{n-1} P_i - \sum_{i=1}^{n-1} Q_i}{\sum_{i=1}^{n-1} P_i}\,\!$$=1-\frac{\sum_{i=1}^{n-1} Q_i}{\sum_{i=1}^{n-1} P_i}$ $=1-2\,\!$${\sum_{i=1}^{n-1} Q_i} \over {n-1}$

Questo perché:

$P_i=\frac{i}{n}\,\!$$\qquad\Rightarrow\qquad\,\!$$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{i}{n}\,\!$$=\,\!$$\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n-1} i$$=\,\!$$\frac{1}{n}\cdot\frac{n\left(n-1\right)}{2}$$=\frac{n-1}{2}$

Voci correlate

• Concentrazione (statistica)
• Corrado Gini
• Indice di eterogeneità di Gini

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