Indice di Divisia

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L'indice di Divisia è un indice definito in ambito continuo utilizzato per la misurazione delle variazioni nei volumi e nei prezzi di determinati aggregati.

Adattamenti al caso discreto dell'indice di Divisia, e quindi sue approssimazioni empiriche, sono:

Calcolo dell'indice[modifica | modifica wikitesto]

Il valore di un aggregato risulta uguale alla somma delle quantità degli elementi che lo compongono moltiplicati per i rispettivi prezzi. Indicando con \ X_{t} il valore dell'aggregato X al tempo t, con \ p_{it} e \ q_{it}, rispettivamente, il prezzo e la quantità dell'elemento i al tempo t, avremo:

\ X_t = \sum_i p_{it}\ q_{it}

Derivando rispetto al tempo e dividendo per \ X_{t} otteniamo:

\frac{\dot{X}_t}{X_t} =  \sum_i \frac{q_{it}}{\sum_i p_{it}\ q_{it}} \dot{p}_{it} + \sum_i \frac{p_{it}}{\sum_i p_{it}\ q_{it}} \dot{q}_{it}

dove \ \dot{x}= \frac{d x}{d t}.

Dall'equazione precedente otteniamo:

\frac{\dot{X}_t}{X_t} =  \sum_i v_{it} \frac{\dot{p}_{it}}{p_{it}} + \sum_i v_{it} \frac{\dot{q}_{it}}{q_{it}}

dove \ v_{it} è la quota di i sul totale nel periodo t, ovvero:

v_{it} = \frac{q_{it}p_{it}}{\sum_i p_{it}\ q_{it}}

Essendo:

\frac{d \log x}{d t} = \frac{\dot{x}}{x}

una formulazione alternativa è:

(1) \ \frac{d \log X_t}{d t} =  \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {p}_{it}}{d t} + \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {q}_{it}}{d t}

Nelle equazioni precedenti il primo addendo rappresenta la variazione dell'aggregato osservabile a seguito della variazione dei prezzi, costanti le quantità, mentre il secondo registra i cambiamenti imputabili alle variazioni nei volumi, costanti i prezzi.

In caso di un solo bene avremmo:

\ X_t = P_t\ Q_t

da cui:

(2) \ \frac{d \log X_t}{d t} =  \frac{d \log P_t}{d t} + \frac{d \log Q_t}{d t}

Notando il parallelismo tra la (1) e la (2) possiamo scrivere:

\ \frac{d \log P_t}{d t} = \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {p}_{it}}{d t}
\ \frac{d \log Q_t}{d t} = \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {q}_{it}}{d t}

Consideriamo la prima equazione. Dato un anno base (0), la variazione dell'indice tra l'anno base ed un anno T sarà dato da:

\int_0^T \frac{d \log P_t}{d t} d t= \int_0^T \left ( \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {p}_{it}}{d t} \right ) d t

da cui, integrando, otteniamo:

\log \frac{P_T}{P_0} = \int_0^T \left ( \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {p}_{it}}{d t} \right ) d t

L'indice dei prezzi di Divisia è dunque uguale a:

\frac{P_T}{P_0} = \exp \left ( \int_0^T \left ( \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {p}_{it}}{d t} \right ) d t \right )

Analogamente, l'indice dei volumi di Divisia è dato da:

\frac{Q_T}{Q_0} = \exp \left ( \int_0^T \left ( \sum_i v_{it}\ \frac{d \log {q}_{it}}{d t}\right ) d t \right )

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

economia Portale Economia: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di economia