Indice Atkinson

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L'indice di disuguaglianza di Atkinson è un misuratore economico della disuguaglianza dei redditi creato da Anthony Barnes Atkinson.

Si basa sul reddito pro-capite che, ove fosse condiviso da tutta la popolazione, genererebbe lo stesso livello di benessere che scaturisce dalla distribuzione dei redditi osservata.

L'indice Atkinson è definito come:

A=
\begin{cases}
1-\frac{1}{\mu}\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon}\right)^{1/(1-\varepsilon)}
& \mbox{per}\ \varepsilon \in \left[0,1\right) \\
1-\frac{1}{\mu}\left(\prod_{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}
& \mbox{per}\ \varepsilon=1,
\end{cases}

dove y_{i} è il reddito individuale (i = 1, 2, ..., N) e \mu è il reddito medio.

Base teorica[modifica | modifica wikitesto]

L’indice Atkinson è basato sulla teoria economica. Può essere interpretato nel seguente modo. Siano  \bar W l’utilità sociale attuale e y^* il reddito che, se tutti gli individui avessero questa somma, da la medesima utilità sociale.

Prendendo il caso di due individui, si può rappresentare graficamente la costruzione dell’indice Atkinson.

Atkinson.pdf

Se  y_1^o è il reddito del primo individuo e  y_2^o quello del secondo, il reddito medio è \bar y, cioè la media aritmetica dei due redditi. Sia  A= 1 - \frac{y^*}{\bar y} una misura della disuguaglianza dei redditi basata sull’utilità sociale. Può essere calcolata se si conosce l’utilità sociale ( W ). Se questa misura deve essere indipendente dalla media dei redditi, la funzione di utilità sociale deve avere la forma seguente :

 W = \frac{1}{1-\varepsilon} \sum_{1=1}^N y_i^{1-\varepsilon}

dove  N è il numero di individui e \varepsilon una costante da definire (con  \varepsilon \ge 0 per ottenere una curva di indifferenza concava). Atkinson propone di determinare  \varepsilon nel seguente modo. C’è una persona con un reddito doppio dell’altra. Si prende 1 euro dalla persona ricca per dare  x < 1 euro all’altra (il resto è perso a causa dei costi amministrativi del prelevamento: costo dell’apparato fiscale per esempio). La parte persa aumenta quando la pressione fiscale è forte. Per quale valore di  x bisogna fermarsi? La risposta determina il valore di  \varepsilon secondo la formula  \frac{1}{x} = 2^{\epsilon} . Se si ferma a 0.5 allora  \varepsilon è uguale a uno e così di seguito.

Se tutte le persone hanno il medesimo reddito  y^* allora  W = \frac{N}{1-\varepsilon} (y^*)^{1-\varepsilon} . Sostituendo  y^* nella formula  A= 1 - \frac{y^*}{\bar y} si ottiene l’indice Atkinson.

Se  \varepsilon = 0 allora la funzione di utilità sociale è unicamente la somma dei redditi. La società non è interessata alla distribuzione dei redditi. Al contrario, se  \varepsilon = \infty allora la società considera unicamente il reddito dell’individuo più povero. Questa attitudine corrisponde alla teoria contrattuale della giustizia sociale sviluppata da John Rawls. Praticamente, si utilizzano dei valori tra 0.5 e 1.5.

L’indice Atkinson è una misura del guadagno potenziale (in termine di utilità sociale) di una ridistribuzione dei redditi. Se  A è uguale a 0.04 allora si può ottenere la medesima utilità sociale con solo il 96% del reddito totale [ (1-0.04) \times 100 ].

L’indice Atkinson rivela una differenza nella ripartizione nei redditi bassi rispetto ad una differenza nei redditi alti, ciò che non è il caso dell’indice di Gini, più conosciuto. Prendiamo il caso di tre società con quattro impiegati. Rispetto alla società A, la società B ha una disuguaglianza più forte nei redditi bassi mentre la società C ha una disuguaglianza più forte nei redditi alti.

Disuguaglianza dei salari
  Società A     Società B     Società C  
10’000 5’000 10’000
20’000 25’000 20’000
30’000 30’000 25’000
40’000 40’000 45’000

L’indice di Gini aumenta da 0.25 a 0.275 passando da A a B o da A a C. Al contrario l’indice Atkinson (con  \varepsilon = 1.5) passa da 0.175 per A a 0.344 per B mentre che per C l’indice è di 0.190. L’aumento è più debole.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Paul D. Allison, Measures of Inequality, American Sociological Review, 43 (December 1978), pp. 865-880, presents a technical discussion of the Atkinson measure's properties.
  • Atkinson, AB (1970) On the measurement of economic inequality. Journal of Economic Theory, 2 (3), pp. 244-263
  • Atkinson, AB (1975) Economics of inequality, Oxford University Press
  • Amartya Sen, James E. Foster: On Economic Inequality, Oxford University Press, 1996 (Python script for a selection of formulas in the book)
  • Income Inequality, 1947-1998, from the United States Census Office.
  • World Income Inequality Database