Immagine (matematica)

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Immagine (insieme tratteggiato) all'interno del codominio

Data una funzione f : A → B, si definisce immagine di A tramite f, o, tout court, immagine di f il sottoinsieme di B così definito:

$\begin{matrix} f(A) & := & \left\{b \in B \left| \right. b = f(a)\ \mbox{per qualche}\ a \in A \right\} & = \\[1ex] & = & \left\{b \in B \left| \right. \exists\, a \in A \left| \right. b = f(a)\right\} & = \\[1ex] & = & \left\{f(a) \in B \left| \right. a \in A \right\} \subseteq B, \end{matrix}$

ove l'uguaglianza con B sussiste se e solo se la funzione f è suriettiva.

Si tratta, quindi, di quegli elementi b di B per i quali esiste un elemento di A che venga portato in B da f.

Notare che nello scrivere f(A) si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto f è una trasformazione che agisce sugli elementi di A, non su A stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: $f[A]\,\!$ e $\mathrm{Im}\, f\,\!.$

Più in generale, se A₁ ⊆ A è un sottoinsieme del dominio A si chiama immagine di A₁ tramite f l'insieme:

$f(A_1) := \left\{b \in B \left| \right. b = f(a)\ \mbox{per qualche}\ a \in A_1 \right\} \subseteq B\,\!.$

Se a ∈ A, si chiama immagine di a tramite f l'unico elemento f(a) ∈ B associato ad a da f.

[modifica] Proprietà

Considerata una funzione f : A → B, valgono le seguenti proprietà:

$f(\emptyset) = \emptyset\,\!.$

Se $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A\,\!,$ allora $f(A_1) \subseteq f(A_2) \subseteq f(A)\,\!.$

L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli:
- In generale: $f\left(\bigcup_i A_i \right) = \bigcup_i f(A_i)\,\!.$

L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: e l'uguaglianza vale se e solo se la funzione f è iniettiva.
- In generale: $f\left(\bigcap_i A_i \right) \subseteq \bigcap_i f(A_i)\,\!.$

L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: $f\left(A_1 \setminus A_2 \right) \supseteq f(A_1) \setminus f(A_2)\,\!$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f(A_2)\cap f(A_1\setminus A_2)=\emptyset\,\!.$

[modifica] Metodi di calcolo

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione $x 2$ ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate $y$ , compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la $x$ in funzione della $y$ , trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se

$f(x)=y=e^{x^2}-5\,\!$

allora la sua inversa si ottiene mediante:

$y+5=e^{x^2} \Longleftrightarrow \ln(y+5)=x^2 \Longleftrightarrow \sqrt{\ln(y+5)}=x\,\!.$

Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la $y\,\!$ , precisamente $y+5>0\,\!$ e $\ln(y+5)\geq 0\,\!.$ L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di $y\,\!$ risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è $[-4,+\infty)\,\!.$