Ideale frazionario

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In matematica, gli ideali frazionari sono generalizzazioni degli ideali di un anello usati nello studio dei domini d'integrità; possono essere pensati come ideali a cui è permesso avere un denominatore comune. In questo contesto, gli ideali propri dell'anello sono a volte detti ideali interi.

Definizione ed esempi[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un dominio e K il suo campo dei quozienti. Un ideale frazionario di A è un sotto-A-modulo I di K per cui esiste un elemento non nullo d in A tale che dI\subseteq A.

L'insieme d\cdot I, essendo un sottomodulo di A, è un ideale di A; gli ideali frazionari possono quindi essere anche definiti come i d^{-1}J, dove d è un elemento di A e J un ideale proprio di A. Questo vuol dire che I è formato dagli elementi nella forma \frac{j}{d}, dove j è un elemento di J; in questo senso, quindi, gli ideali frazionari possono essere considerati come ideali (propri) di A "con un denominatore". In particolare, gli ideali frazionari di A contenuti in A sono precisamente gli ideali propri di A.

Tutti i sottomoduli di K finitamente generati sono ideali frazionari, ma questo non è vero per moduli non finitamente generati: ad esempio K stesso è un A-modulo ma non è mai un ideale frazionario di A (a meno che A coincida con K). Usando la corrispondenza con gli ideali propri di A, si vede che gli ideali frazionari coincidono con i sottomoduli di K finitamente generati se e solo se A è noetheriano.

Come per gli ideali propri, un ideale frazionario dalla forma xA, per un x\in K, è detto principale.

Operazioni e invertibilità[modifica | modifica wikitesto]

Essendo sottomoduli di uno stesso modulo (K), tra gli ideali frazionari di A possono essere effettuate varie operazioni: tra queste l'intersezione I\,\cap\, J, la somma I+J=\{i+j|i\in I,j\in J\}, il prodotto IJ=\left\{\sum_{k=1}^n i_kj_k|i_k\in I, j_k\in J\right\} e la "divisione" (I:J)=\{x\in K|xJ\subseteq I\}. Questi non solo sono sotto-A-moduli di K, ma sono anche ideali frazionari.

Dotato del prodotto, l'insieme degli ideali frazionari non nulli è un monoide con elemento neutro A, ma generalmente non è un gruppo: questo avviene se e solo se A è un dominio di Dedekind. Gli elementi invertibili di questo monoide sono detti ideali invertibili: in altre parole, un ideale invertibile è un ideale frazionario I tale che esiste un ideale frazionario J tale che IJ=A; se questo avviene, J deve coincidere con (A:I). Gli ideali invertibili possono essere caratterizzati attraverso le localizzazioni di A: I è invertibile se e solo se è finitamente generato e IR_M è principale per ogni ideale massimale M. In particolare, negli anelli locali (così come negli anelli semilocali, ovvero con un numero finito di ideali massimali) un ideale frazionario è invertibile se e solo se è principale.

L'insieme degli ideali frazionari è un gruppo rispetto al prodotto, indicato con Inv(A), e comprende come sottogruppo l'insieme degli ideali principali P(A).

Nel caso in cui A sia un dominio di Dedekind, gli ideali frazionari si comportano in modo particolarmente buono. In questo caso, infatti, tutti gli ideali sono invertibili, e il quoziente Inv(A)/P(A) (detto gruppo delle classi di A) dà informazioni sulle proprietà di fattorizzazione di A: ad esempio, il gruppo delle classi è banale se e solo se A è un dominio a fattorizzazione unica.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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