Gruppo triangolare

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In algebra un gruppo triangolare è un gruppo generato dalle riflessioni lungo i lati di un triangolo con angoli

\frac {\pi}l, \frac \pi m, \frac \pi n.

Il triangolo è contenuto nel piano euclideo, nel piano iperbolico o nella sfera a seconda che la somma degli angoli interni sia uguale, minore o maggiore di \pi. Il gruppo triangolare è anche il gruppo di simmetrie della tassellazione del piano corrispondente.

Un gruppo triangolare è un particolare gruppo di Coxeter.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Siano l,m,n tre numeri interi maggiori o uguali a 2. Sia T un triangolo avente angoli interni

\frac {\pi}l, \frac \pi m, \frac \pi n.

La somma degli angoli interni è

\pi \cdot \left(\frac 1l + \frac 1m + \frac 1n \right).

In geometria euclidea un tale triangolo esiste soltanto se la somma degli angoli interni è \pi, e cioè se

\frac 1l + \frac 1m + \frac 1n = 1.

Se la somma degli angoli interni è maggiore o minore di \pi, un tale triangolo esiste nelle altre due geometrie non euclidee più importanti, e cioè la geometria sferica e la geometria iperbolica. Le figure seguenti mostrano un triangolo sferico (in cui la somma degli angoli interni \alpha+\beta+\gamma è maggiore di \pi) e un triangolo iperbolico (in cui è minore di \pi):

Spherical triangle 3d opti.png
Triangolo sferico
Triangolo iperbolico.svg
Triangolo iperbolico

Il gruppo triangolare

\Delta (l,m,n)

è il gruppo di simmetrie del piano (euclideo, sferico o iperbolico) generato dalle tre riflessioni lungo i tre lati del triangolo. Indicando con a,b,c queste riflessioni, il gruppo triangolare ha la seguente presentazione:

\langle a,b,c\ |\ a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^n = (bc)^l = (ca)^m = 1 \rangle.

Le relazioni a^2 = b^2 = c^2 = 1 sono dovute al fatto che una riflessione ha ordine 2, mentre le relazioni (ab)^n = (bc)^l = (ca)^m = 1 sono conseguenza del fatto che la composizione ab è una rotazione di angolo 2\pi /n attorno al vertice avente angolo \pi/n ed ha quindi ordine n.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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