Gruppo di torsione

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Un gruppo di torsione o gruppo periodico è un gruppo in cui ogni elemento ha ordine finito. Tutti i gruppi finiti sono di torsione. Il concetto di gruppo di torsione non va confuso con quello di gruppo ciclico: (Z,+) è ciclico senza essere di torsione.

L'esponente di un gruppo di torsione G è definito come il minimo comune multiplo, se esiste, degli ordini di tutti gli elementi di G. Ogni gruppo finito ha un esponente, che è inoltre un divisore di |G|.

Il problema limitato di Burnside è un classico problema sulla relazione tra i gruppi di torsione e i gruppi finiti, quando si assume che G sia finitamente generato: ci si chiede se un esponente finito implichi la finitezza del gruppo (in generale, la risposta a questa domanda è negativa).

Esempi di gruppi di torsione infiniti sono il gruppo additivo dell'anello dei polinomi su un campo finito, o il gruppo quoziente dei razionali sugli interi, o la loro somma diretta, nota come gruppo di Prüfer. Nessuno di questi gruppo è però generato da un insieme infinito; esempi espliciti di gruppi di torsione infiniti e finitamente generati furono costruiti per la prima volta nel 1964 da Golod e Šafarevič.

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