Gruppo di Grothendieck

In matematica, in particolare in algebra astratta, la costruzione del gruppo di Grothendieck è un metodo per costruire nel migliore modo possibile un gruppo commutativo a partire da un semigruppo commutativo. Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-theory.

Costruzione esplicita

Sia $(S,+\!\,)$ un semigruppo commutativo, consideriamo $S \times S$ e definiamo in esso la relazione di equivalenza

$(s_1, s_2) \sim (t_1, t_2) \Leftrightarrow \exists\, r \in S \; : \; s_1 + t_2 + r = s_2 + t_1 + r$

e l'operazione di somma per componenti

$(s_1,s_2) + (t_1,t_2) := (s_1 + t_1, s_2 + t_2) \quad \forall (s_1,s_2),(t_1,t_2) \in S \times S$

che si verifica facilmente essere compatibile con la relazione di equivalenza precedente. Il gruppo di Grothendieck di $S$ è l'insieme quoziente $K(S) := S \times S / \!\sim$, questo è un gruppo commutativo con elemento neutro $(s,s)$ per ogni $s \in S$ e inverso di $(s_1,s_2) \in S \times S$ uguale a $(s_2,s_1)$.

Proprietà ed esempi

• Se $(T,+)$ è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo $(S,+)$ allora $K(T,+)$ è un sottogruppo del gruppo commutativo $K(S,+)$.

• Se $(G,+)$ è un gruppo commutativo allora $K(G) \cong G$, l'isomorfismo è $K(G) \to G : (g,h) \mapsto g-h$.

• Se $(\mathbb{N},+)$ è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora $K(\mathbb{N},+) \cong (\mathbb{Z},+)$.

• Se $(\mathbb{Z}_0,\times)$ è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora $K(\mathbb{Z}_0,\times) \cong (\mathbb{Q}_0,\times)$.