Gruppo di Grothendieck

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In matematica, in particolare in algebra astratta, la costruzione del gruppo di Grothendieck è un metodo per costruire nel migliore modo possibile un gruppo commutativo a partire da un semigruppo commutativo. Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-theory.

Costruzione esplicita[modifica | modifica sorgente]

Sia (S,+\!\,) un semigruppo commutativo, consideriamo S \times S e definiamo in esso la relazione di equivalenza

(s_1, s_2) \sim (t_1, t_2) \Leftrightarrow \exists\, r \in S \; : \; s_1 + t_2 + r = s_2 + t_1 + r

e l'operazione di somma per componenti

(s_1,s_2) + (t_1,t_2) := (s_1 + t_1, s_2 + t_2) \quad \forall (s_1,s_2),(t_1,t_2) \in S \times S

che si verifica facilmente essere compatibile con la relazione di equivalenza precedente. Il gruppo di Grothendieck di S è l'insieme quoziente K(S) := S \times S / \!\sim, questo è un gruppo commutativo con elemento neutro (s,s) per ogni s \in S e inverso di (s_1,s_2) \in S \times S uguale a (s_2,s_1).

Proprietà ed esempi[modifica | modifica sorgente]

  • Se (T,+) è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo (S,+) allora K(T,+) è un sottogruppo del gruppo commutativo K(S,+).
  • Se (G,+) è un gruppo commutativo allora K(G) \cong G, l'isomorfismo è K(G) \to G : (g,h) \mapsto g-h.
  • Se (\mathbb{N},+) è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora K(\mathbb{N},+) \cong (\mathbb{Z},+).
  • Se (\mathbb{Z}_0,\times) è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora K(\mathbb{Z}_0,\times) \cong (\mathbb{Q}_0,\times).