Geometria della distanza

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La geometria della distanza è lo studio di insiemi di significato geometrico che si basa esclusivamente su valori assegnati alle distanze tra coppie di punti. La geometria della distanza ha immediata rilevanza nelle applicazioni nelle quali i valori delle distanze sono assegnati o devono essere determinati; questo accade, per esempio, nelle misurazioni che si effettuano in geodesia, in cartografia e in fisica.

Di particolare utilità e importanza sono le classificazioni effettuate servendosi dei determinanti di Cayley-Menger:

  • Un insieme Λ costituito almeno da tre elementi distinti è detto

rettilineo se

per ogni terna {A, B, C} di elementi di Λ si ha
 \det \begin{bmatrix}
       0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & 1 \\
 d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & 1 \\
 d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & 1 \\
       1 &       1 &       1 & 0
\end{bmatrix} = 0 .
  • Un insieme Π costituito almeno da quattro elementi distinti è detto

piano se

per ogni quattro suoi elementi A, B, C e D accade che
 \det \begin{bmatrix}
       0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & 1 \\
 d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & d(BD)^2 & 1 \\
 d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & d(CD)^2 & 1 \\
 d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 &       0 & 1 \\
       1 &       1 &       1 & 1       & 0
\end{bmatrix} = 0 ,
ma se non tutte le terne di elementi di Π formano insiemi rettilinei.
  • Un insieme Φ costituito almeno da cinque elementi distinti è detto

piatto se

per ogni cinque suoi elementi A, B, C, D e E si ha
 \det \begin{bmatrix}
       0 & d(AB)^2 & d(AC)^2 & d(AD)^2 & d(AE)^2 & 1 \\
 d(AB)^2 &    0    & d(BC)^2 & d(BD)^2 & d(BE)^2 & 1 \\
 d(AC)^2 & d(BC)^2 &       0 & d(CD)^2 & d(CE)^2 & 1 \\
 d(AD)^2 & d(BD)^2 & d(CD)^2 &       0 & d(DE)^2 & 1 \\
 d(AE)^2 & d(BE)^2 & d(CE)^2 & d(DE)^2 &       0 & 1 \\
       1 &       1 &       1 & 1       &       1 & 0
\end{bmatrix} = 0,
ma non tutte le quaterne di elementi di Φ costituiscono insiemi piani ad ogni altro.

Analoghe definizioni si possono dare per multiple più estese di punti.

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