Funzioni di Lamé

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In matematica, le funzioni di Lamé sono funzioni speciali introdotte nel 1839 dal matematico francese Gabriel Lamé nel suo studio dell'equazione di Laplace in coordinate ellissoidali. Furono studiate indipendentemente anche dal matematico tedesco Carl Gustav Jakob Jacobi nel medesimo anno.

Indice

[modifica] Coordinate ellissoidale

Il sistema di coordinate ellissoidale usato da Lamé è definito delle tre equazioni:

\frac{x^2}{a^2+\lambda} + \frac{y^2}{b^2+\lambda} +\frac{z^2}{c^2+\lambda} =1,
\frac{x^2}{a^2+\mu} + \frac{y^2}{b^2+\mu} +\frac{z^2}{c^2+\mu} =1,
\frac{x^2}{a^2+\nu} + \frac{y^2}{b^2+\nu} +\frac{z^2}{c^2+\nu} =1,

dove λ > − c2 > μ > − b2 > ν > − a2.

Il punto di coordinate cartesiane (x,y,z) si trova a l'intersezione di tre superfici: un ellissoide (prima equazione), un iperboloide a una falda e un iperboloide a due falde. È possibile esprimere le coordinate del punto (x,y,z) come funzione di (λ,μ,ν) che sono chiamate coordinate ellissoidali (vedi il testo di Whittaker e Watson o quello di Byerly).

[modifica] Laplaciano in coordinate ellissoidali

È possibile esprimere il laplaciano nel sistema di coordinate ellissoidale. L'espressione finale (vedi il testo di Byerly) è:

\Delta V = (\mu^2 -\nu^2) \frac{\partial V}{\partial \alpha^2} + (\lambda^2 -\nu^2) \frac{\partial V}{\partial \beta^2} + (\lambda^2 -\mu^2) \frac{\partial V}{\partial \gamma^2},

dove:

\alpha = c \int_{c}^\lambda \frac{d \lambda'}{\sqrt{(\lambda'^2-b^2)(\lambda'^2-c^2)}}
\beta = c \int_{b}^\mu \frac{d \lambda'}{\sqrt{(c^2-\mu^2)(\mu^2-b^2)}}
\alpha = c \int_{0}^\nu \frac{d \nu'}{\sqrt{(b^2-\nu^2)(c^2-\nu^2)}}

È possibile scrivere α,β,γ come integrale ellittico.

[modifica] Equazione di Laplace

Per risolvere l'equazione di Laplace, ΔV = 0, e possibilmente cercare soluzioni V(α,β,γ) = L(α)M(β)N(γ), le funzioni L,M,N devono soddisfare l'equazione differenziale ordinaria:

\frac{d^2 L}{d\alpha^2}= [m(m+1)\lambda^2-(b^2+c^2)p] L
\frac{d^2 M}{d\beta^2}= -[m(m+1)\mu^2-(b^2+c^2)p] M
\frac{d^2 M}{d\gamma^2}= [m(m+1)\nu^2-(b^2+c^2)p] N

dove m e p sono parametri convenienti.

Esprimendo α,β,γ come funzione di λ,μ,ν il resultato finale è che L,M,N soddisfano:

(\lambda^2 -b^2) (\lambda^2 - c^2) \frac{d^2 L}{d\lambda^2} + \lambda (\lambda^2 -b^2 +\lambda^2 - c^2) \frac{d L}{d\lambda} -[m(m+1)\lambda^2 -(b^2+c^2) p] L =0
(\mu^2 -b^2) (\mu^2 - c^2) \frac{d^2 M}{d\mu^2} + \mu (\mu^2 -b^2 +\mu^2 - c^2) \frac{d M}{d\mu} -[m(m+1)\mu^2 -(b^2+c^2) p] L =0
(\nu^2 -b^2) (\nu^2 - c^2) \frac{d^2 N}{d\nu^2} + \nu (\nu^2 -b^2 +\nu^2 - c^2) \frac{d N}{d\nu} -[m(m+1)\nu^2 -(b^2+c^2) p] L =0

Chiamando E_m^p(u) la soluzione dell'equazione differenziale di Lamé:

(u^2 -b^2) (u^2 - c^2) \frac{d^2 v}{du^2} + u (u^2 -b^2 +u^2 - c^2) \frac{d v}{du} -[m(m+1) u^2 -(b^2+c^2) p] v =0 (1)

È chiaro che V(\lambda,\mu,\nu)=E_m^p(\lambda) E_m^p(\mu) E_m^p(\nu) .

E_m^p(u) è chiamata funzione di Lamé. Quando m\in \Bbb{N} è possibile cercare le soluzione dell'equazione di Lamé nella forma:

K_m^p(u)=u^m+a_{m-2}u^{m-2}+\ldots (polinomo)
L_m^p(u)=\sqrt{u^2-b^2} (u^{m-1}+a_{m-3} u^{m-3}+\ldots
M_m^p(u)= \sqrt{u^2-c^2} (u^{m-1}+a_{m-3} u^{m-3}+\ldots
N_m^p(u)= \sqrt{(u^2-b^2)(u^2-c^2)} (u^{m-2}+a_{m-4} u^{m-4}+\ldots

Questo impone condizioni su p. È possibile dimostrare che per ogni m esistono in totale (2m + 1) funzioni di Lamé E_m^p(u) della forma K_m^p, L_m^p , M_m^p o N_m^p.

Una tavola di queste funzioni si trova nel libro di Byerly per m\le 3.

Esistono anche funzioni di Lamé del secondo tipo, introdotte da Eduard Heine e Joseph Liouville:

F_m^p(u)=(2m+1) E_m^p(u)\int_u^\infty\frac{dw}{\sqrt{(w^2-b^2)(w^2-c^2)} [E_m^p(w)]^2 } .

[modifica] Equazione di Lamé con funzioni ellitiche

Esiste anche una teoria dei funzioni di Lamé basata sull'equazione differenziale ottentuta per cambiamento di variabile:

\frac{d^2 U}{du^2}= [m(m+1) \wp(u) +B] U (2)

dove \wp è la funzione ellittica di Weierstrass, sviluppata del matematico francese Georges Henri Halphen.

Esiste ancora una forma dell'equazione di Lamé:

\frac{d^2 U}{du^2}= [m(m+1) k^2 \mathrm{sn}^2(u) +B]U (3)

dove sn è una funzione ellittica di Jacobi, sviluppata del matematico francese Charles Hermite nel 1885. La forma di Halphen è più generale. Nel libro di James Pierpont, si puo trovere la teoria dei funzioni di Lamé basata su l'equazione con la funzione di Weierstrass.


[modifica] Bibliografia


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