Funzione zeta di Hurwitz

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In matematica, in particolare in teoria analitica dei numeri, la funzione zeta di Hurwitz è definita come:

 \zeta(s,a)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+a)^s}

se la parte reale di s è maggiore di 1 e a>0. Chiaramente, se a=1 la funzione zeta di Hurwitz coincide con la funzione zeta di Riemann, cioè, in simboli, \zeta(s,1)=\zeta(s).

Allo stesso modo della funzione zeta di Riemann,  \zeta(s,a) può essere prolungata analiticamente a una funzione olomorfa sull'intero piano complesso ad eccezione di un unico polo semplice in s=1 di residuo 1.

Per \mathrm{Re}(s)>1, la funzione \zeta(s,a) si può esprimere come trasformata di Mellin:

\Gamma \left( s \right)\zeta \left( {s,a} \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{x^{s - 1} e^{ - ax} }} {{1 - e^{ - x} }}} dx.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Tom M. Apostol, The Functions ζ(s) and L(s,χ) in Introduction to Analytic Number Theory, 2ª ed., New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.

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