Funzione trascendente di Lerch

In matematica, la funzione trascendente di Lerch e una generalizzazione della funzione zeta di Hurwitz e della funzione polilogaritmo. Fu studiata da Lipschitz nel 1857 e poi da Lerch nel 1887.

È definita con la serie:

$\Phi(z,a,s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(a+n)^s}$

dove $a \notin \Bbb{Z}^{-}$ , $z \in \Bbb{C}$ . La serie e convergente per $|z|<1$ . Per $|z|=1$ , la serie e convergente solamente per $Re s >1$ .

Ovviamente:

$\Phi(1,a,s)=\zeta(s,a)$ , la funzione zeta di Hurwitz.

Per $a=1$ , $z \Phi(z,1,s)=Li_s(z)$ , la funzione polilogaritmo.

E possibile dimostrare che:

$\Phi(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1} e^{-at}}{1-ze^{-t}} dt$

sviluppando $1/(1-ze^{-t})=1+ze^{-t} +z^2 e^{-2t} +\ldots$ .

La funzione zeta di Lerch e definita come

$L(x)=\Phi(e^{i 2\pi x},a,s)$ .

Bibliografia [modifica]

(FR) M. Lerch Note sur la function ${R}(w,x,s)=\sum_{k=0}^\infty \frac{e^{2k\pi i x}}{(w+k)^s}$ , Acta Mathematica 11, 19 (1887).
(DE) R. Lipschitz Untersuchung einer aus vier Elementen gebildeten Reihe. Journal für die reine und angewandte Mathematik 54 313 (1857).
(DE) R. Lipschitz Untersuchung der Eigenschaften einer Gattung von unendlichen Reihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 105 127 (1889).
(EN) T. Apostol On the Lerch zeta function. Pacific J. Math. 1, 161 (1951).
Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. " Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 27-31, 1981.

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