Funzione trascendente di Lerch

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In matematica, la funzione trascendente di Lerch è una generalizzazione della funzione zeta di Hurwitz e della funzione polilogaritmo. Fu studiata da Lipschitz nel 1857 e poi da Lerch nel 1887.

È definita con la serie:

 \Phi(z,a,s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(a+n)^s}

dove  a \notin \Bbb{Z}^{-},  z \in \Bbb{C}. La serie è convergente per |z|<1. Per |z|=1, la serie è convergente solamente per Re s >1.

Ovviamente:

\Phi(1,a,s)=\zeta(s,a), la funzione zeta di Hurwitz.

Per a=1, z \Phi(z,1,s)=Li_s(z), la funzione polilogaritmo.

È possibile dimostrare che:

 \Phi(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{t^{s-1} e^{-at}}{1-ze^{-t}} dt

sviluppando 1/(1-ze^{-t})=1+ze^{-t} +z^2 e^{-2t} +\ldots .

La funzione zeta di Lerch è definita come

L(x)=\Phi(e^{i 2\pi x},a,s) .

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

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