Funzione poligamma

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In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

\psi_m(z) := \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln{\Gamma(z)} = 
\left(\frac{d}{dz}\right)^m \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} =
\left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi_0(z)
.

Qui

\psi_0(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

denota la funzione digamma e \Gamma(z) denota la funzione gamma.

La funzione poligamma si denota anche \,\psi^{(m)}. La funzione \,\psi_1 viene detta anche funzione trigamma e la \,\psi_2 funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

\psi_n(z)= (-1)^{n+1}\int_0^\infty \frac{t^n e^{-tz}} {1-e^{-t}} dt\ .

Vale la relazione di ricorrenza

\psi_n(z+1)= \psi_n(z) + (-)^n\; n!\; z^{-(n+1)}

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

\psi_n(z) = (-1)^{n+1}\; n!\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{n+1}}

che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

\psi_n(z) = (-1)^{n+1}\; n!\; \zeta (n+1,z) .

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in z0=1 è

\psi_n(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{n+k+1} (n+k)!\; \zeta (n+k+1)\; \frac {z^k}{k!}

che converge per |z|<1. Qui \,\zeta(s) denota la funzione zeta di Riemann.

Valgono inoltre la formula di riflessione

\psi_n(1-z) + (-1)^{n+1} \psi_n(z) = (-1)^n\,\pi\, {d^n\over dz^n} \cot(\pi z)

e la formula di moltiplicazione

\psi_n(mz) = \delta_{n,0} \ln m + {1 \over m^{n+1}} \sum{k=0}^{m-1} \psi_n\left(z+{k\over m}\right)

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