Funzione gudermanniana

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La funzione gudermanniana collega le funzioni trigonometriche alle funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi.

Viene definita come

{\rm gd}(x)=2\arctan e^x-{\pi\over2}.

Dalla definizione discendono le seguenti identità:

\sinh(x) \,=\, \tan(\mbox{gd}(x))
\cosh(x) \,=\, \sec(\mbox{gd}(x))
\mbox{csch}(x) \,=\, \cot(\mbox{gd}(x))
\tanh(x) \,=\, \sin(\mbox{gd}(x))
\mbox{sech}(x) \,=\, \cos(\mbox{gd}(x))
\coth(x) \,=\, \csc(\mbox{gd}(x))

La sua funzione inversa è

{\rm gd}^{-1}(x) \,=\, \ln(\tan x+\sec x),

Questa è il nucleo della proiezione di Mercatore.

Si dimostrano inoltre le seguenti identità:

{d \over dx}\,\mbox{gd}(x) = \mbox{sech}(x)
{d \over dx}\,\mbox{gd}^{-1}(x) = \sec(x)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.


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