Formula ipsometrica

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Attraverso la formula ipsometrica è possibile ricavare la variazione di pressione in quota, inoltre, con la stessa, è anche possibile stabilire la distanza fra due superfici isobariche note.

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Per ricavare la formula da cui partire occorre tener presente la legge di Stevino, la quale afferma che in un fluido, la pressione dipende dalla densità, dall'accelerazione gravitazionale e dalla quota "z"; in formula:

$P = p g h$

Consideriamo una colonna d'aria alla cui sommità vi è la pressione $P 1$ e nella parte inferiore la pressione $P 2$

facendo la differenza tra i due termini e considerando la superficie unitaria, ricaviamo:

$P_2-P_1=\rho gz_2-\rho gz_1=\rho g \left ( z_2-z_1 \right )$

otteniamo quindi:

$dp = ρgdz$

A tal punto se consideriamo la densità dell'aria costante, si ottiene un modello di atmosfera detto "Atmosfera omogenea" $P=P_0- \rho g \left ( z_2-z_1 \right )$

I nostri fini però, sono ben altri, difatti quest'ultima equazione approssima eccessivamente l'atmosfera reale, nella quale, la densità varia con la quota.

Continuiamo scrivendo la già nota legge dei gas perfetti

$P V = R T$

scrivendo il volume in funzione della densità, si ottiene:

$P \frac{ m }{ \rho } = RT$

anche in questo caso consideriamo la massa unitaria, ricaviamo dunque:

$\frac{P}{ \rho} =RT$ ⇒ $\rho = \frac{P}{RT}$

riprendendo ora la precedente equazione:

$dp = ρgdz$

e sostituendo il termino $ρ$ con quello calcolato attraverso la legge dei gas perfetti, si ottiene:

$dp= - \frac{P}{RT} gdz$

quindi:

$\frac{dp}{p} = - \frac{g}{RT} dz$ [1.0]

Quella ottenuta è una equazione differenziale di primo grado, in cui le incognite sono la pressione p e la temperatura T alla quota z

A questo punto, si può procedere in due modi, o considerando la temperatura costante con la quota oppure considerando il gradiente termico verticale costante.

Cominciamo a sviluppare la suddetta equazione, secondo la prima ipotesi, costruiremo così un modello di atmosfera isoterma

$\frac{dp}{p} = - \frac{g}{RT} dz$

$T = K o s t$

$\frac{dp}{p} = - \frac{g}{RT} \left ( z_2-z_1 \right )$

$\log\left ({\frac{p}{p_0}}\right ) = - \frac{g}{RT} \left ( z_2-z_1 \right )$

Risolvendo rispetto a $\left ( z_2-z_1 \right )$ otteniamo la formula ipsometrica

$\left ( z_2-z_1 \right ) = \log\left ({\frac{p}{p_0}}\right ) \left (- \frac{RT}{g} \right )$

Con quest'ultima formula è possibile calcolare la distanza che vi è fra due superfici isobariche, nel caso in cui la temperatura rimanga costante con la quota.

Sviluppando la stessa in altri termini, è possibile determinare, come precedentemete detto, la pressione ad una determinata quota.

Riprendiamo dunque la precedente formula:

$\log\left ({\frac{p}{p_0}}\right ) = - \frac{g}{RT} \left ( z_2-z_1 \right )$

$e^{\ln{}} \left ({\frac{p}{p_0}}\right ) = e^{-g/RT \left ( z_2-z_1 \right )}$

semplificando otteniamo:

${\frac{p}{p_0}} = e^{-g/RT \left ( z_2-z_1 \right )}$

ed infine:

$p = p_0e^{-g/RT \left ( z_2-z_1 \right )}$

Si è ora in grado di calcolare il valore della pressione ad una determinata quota, tenendo presente l'ipotesi che la temperatura, rimane costante con la quota.

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