Formula di Perron

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In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia \{a(n)\} una funzione aritmetica, e sia

 g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per \Re(s) > \sigma_a. Allora la formula di Perron afferma che[1]

 A(x) = {\sum_{n\le x}}^{\star} a(n) = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} g(z)\frac{x^{z}}{z}  dz\; ,

per ogni x > 0 e c > \sigma_a. In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando x è un intero.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

 g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{0}^{\infty}  A(x)x^{-(s+1) } dx.

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile x=e^t. La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}\,dx

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}\,dx

dove

A(x)=\sum_{n\le x} \chi(n)

e \chi(n) è un carattere di Dirichlet.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Formula di Perron su MathWorld.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3.
  • (EN) Gérald Tenebaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]