Forma sesquilineare

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In matematica e fisica, una forma sesquilineare sopra uno spazio vettoriale complesso è una funzione che associa ad ogni coppia di vettori dello spazio un numero complesso e che è antilineare in un argomento e lineare nell'altro. In particolare, la convenzione utilizzata solitamente in matematica è che sia lineare nel primo argomento e antilineare nel secondo, mentre in fisica accade il contrario (lineare nel secondo argomento, antilineare nel primo), in accordo con la notazione bra-ket introdotta da Paul Dirac nel formalismo della meccanica quantistica.

Poiché un'applicazione antilineare è talora detta semilineare, il nome sesquilineare trae origine dal prefisso latino sesqui- che significa "uno e mezzo", in sintonia con il termine forma bilineare, funzione con due argomenti che è lineare in entrambi. Inoltre, vari autori che studiano implicitamente soltanto spazi vettoriali complessi usano per brevità il termine "bilineare" al posto di "sesquilineare".

Una forma sesquilineare simmetrica è detta forma hermitiana, ed è analoga a una forma bilineare simmetrica nel caso reale.[1] Una forma hermitiana definita positiva è inoltre detta prodotto interno o prodotto hermitiano. Se si considera il campo reale tale prodotto è il prodotto scalare.[2]

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia V uno spazio vettoriale complesso. Una forma sesquilineare sul campo \mathbb{C} è una mappa:

 \phi: V\times V \to \mathbb{C}

che associa ad ogni coppia di elementi \mathbf v e \mathbf w \in V lo scalare \phi(\mathbf v,\mathbf w) \in \mathbb{C}.

Si tratta di un'applicazione lineare su una componente ed antilineare sull'altra, cioè:

  • \phi(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z + \mathbf w) = \phi(\mathbf x, \mathbf z) + \phi(\mathbf x, \mathbf w) + \phi(\mathbf y, \mathbf z) + \phi(\mathbf y, \mathbf w)
  • \phi(a \mathbf x, \mathbf y) = a \phi(\mathbf x, \mathbf y)
  • \phi(\mathbf x, a \mathbf y) = \bar{a} \phi(\mathbf x,\mathbf y)

con a \in \mathbb{C} e \mathbf x, \mathbf y, \mathbf z, \mathbf w \in \mathbb{V}.

In altre parole, per ogni \mathbf z in V fissato, le applicazioni

  \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf w, \mathbf z) \qquad \ \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf z,\mathbf w)

sono rispettivamente lineare e antilineare.

Forma hermitiana[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore autoaggiunto.

Data una qualsiasi forma sesquilineare  \phi su V, è sempre possibile associare una seconda forma sesquilineare \phi^\dagger che si dice ottenuta per trasposizione coniugata:

\phi^\dagger(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}

e si ha:

(\phi^\dagger)^\dagger = \phi

Una forma hermitiana è una forma sesquilineare \phi : V \times V \to \C tale che:[3]

\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}

La forma hermitiana standard sullo spazio \C^n è definita nel modo seguente:

\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \sum_{i=1}^n\overline{z}_i w_i

Tali forme sono l'equivalente complesso delle forme bilineari simmetrica e antisimmetrica. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:

\phi = {1\over 2}(\phi+\phi^\dagger) + {1\over 2}(\phi-\phi^\dagger)

Prodotto interno[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno, anche detto prodotto hermitiano, è una forma hermitiana definita positiva, cioè tale che:[2]

\phi (0, 0) = 0 \qquad \phi (\mathbf z, \mathbf z) > 0

se \mathbf z \neq 0. Un prodotto hermitiano è sovente indicato con \langle , \rangle, ed uno spazio vettoriale complesso munito di prodotto hermitiano si dice spazio prehilbertiano.

Il prodotto interno è in generale definito sul campo complesso, e nel caso si consideri il campo reale tale prodotto è detto prodotto scalare.

Forma antihermitiana[modifica | modifica wikitesto]

Una forma antihermitiana è una forma sesquilineare \varepsilon : V \times V \to \C tale che:

\varepsilon(\mathbf w,\mathbf z) = -\overline{\varepsilon(\mathbf z,\mathbf w)}

ovvero:

 \varepsilon = - \varepsilon^\dagger

Ogni forma antihermitiana si può esprimere come:

 \varepsilon = i\cdot\phi

dove i è l'unità immaginaria e  \phi è una forma hermitiana.

Analogamente al caso precedente, in dimensione finita una forma antihermitiana è rappresentabile tramite una matrice antihermitiana. La forma quadratica associata ad una forma antihermitiana ha solo valori immaginari.

Matrice associata[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che V abbia dimensione finita. Sia

 B = (\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_n)

una base di V. Ogni forma hermitiana  \phi è rappresentata da una matrice hermitiana H definita come

 H_{i,j} = \phi(\mathbf v_i, \mathbf v_j) \

e vale la relazione

\phi(\mathbf w,\mathbf z) = ^t\overline{[\mathbf w]_B} H [\mathbf z]_B

dove  [\mathbf v]_B è il vettore in C^n delle coordinate di \mathbf v rispetto a B. D'altra parte, ogni matrice hermitiana definisce un prodotto hermitiano. Come per le applicazioni lineari, questa corrispondenza fra forme e matrici dipende fortemente dalla scelta della base B.

Forma quadratica[modifica | modifica wikitesto]

Ad una forma hermitiana è possibile associare una forma quadratica definita come:

 Q(z) = \phi(z,z) \

Tale forma ha tutti valori reali: una forma sesquilineare è hermitiana se e solo se la forma quadratica a lei associata ha solo valori reali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ S. Lang, Pag. 197
  2. ^ a b Hoffman, Kunze, Pag. 271
  3. ^ S. Lang, Pag. 158

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
  • K.W. Gruenberg & A.J. Weir (1977) Linear Geometry, §5.8 Sesquilinear Forms, pp 120–4, Springer, ISBN 0-387-90227-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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