Punto di flesso

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Un punto di flesso a tangente orizzontale

Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Un punto di flesso a tangente obliqua

Un punto di flesso è definito per curve piane e funzioni reali (definite in un intervallo) in uno dei modi seguenti:

  • un punto di una curva in cui la tangente ad essa attraversa la curva (cioè si incrocia con questa).
  • un punto di una curva in cui la concavità cambia. Immaginando un veicolo che corre lungo la curva, è un punto in cui le ruote davanti cambiano direzione (da sinistra a destra, o viceversa).

Il grafico di una funzione è un caso particolare di curva. Tutte queste definizioni sono equivalenti se curve e funzioni sono "sufficientemente regolari", ad esempio se sono differenziabili almeno due volte (condizione necessaria perché si possa parlare di "curvatura" e "derivata seconda").

Il flesso può essere ascendente o discendente:

  • è ascendente quando la funzione passa sopra la retta individuata dalla derivata nel punto di flesso,
  • è discendente quando la funzione passa sotto la retta individuata dalla derivata nel punto di flesso.

Funzioni[modifica | modifica sorgente]

Flessi orizzontali, obliqui e verticali[modifica | modifica sorgente]

Sia  (x_0 , y_0) un punto di flesso per una funzione  f(x) . Se la tangente nel punto è orizzontale (cioè se f  ' (x_0)=0) allora si parla di flesso orizzontale. Altrimenti si parla di flesso obliquo.

Se la funzione è derivabile due volte in tutti i punti vicini a  x_0 , e la derivata prima  f ' (x) tende a infinito in  x_0 , si parla di "tangente verticale", e anche in questo caso il punto è di flesso se la derivata seconda cambia segno. Si parla di flesso verticale.

Precisazioni[modifica | modifica sorgente]

Il "cambiare segno" della derivata seconda è da intendersi in un intorno: nel caso della funzione, questa ha flesso in  x_0 se esiste un intorno  H di x_0 tale che per ogni x di  H con x<x_0 si ha f''(x)>0 (rispettivamente  <0 ) e per ogni x di H con x>x_0 si ha f''(x)<0 (rispettivamente  >0 ).

Condizione equivalente (per flessi non verticali) è che la derivata f'(x) abbia un massimo oppure un minimo locale in x_0.

Metodi risolutivi[modifica | modifica sorgente]

Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, si ricercano innanzitutto i valori di x per i quali la derivata seconda si annulla:

~f''(x)=0.

La condizione che  f''(x_0) = 0 è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in  x_0 , perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a  x_0 : questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.

Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto x_0 successiva alla seconda è una derivata dispari.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

  • Un punto di flesso è un punto stazionario se e solo se è orizzontale.
  • In un punto di flesso la funzione ammette un "contatto almeno del secondo ordine" con la retta tangente.
  • Esistono funzioni che non presentano punti di flesso: ad esempio quelle aventi come diagrammi linee rette, parabole e le funzioni polinomiali date da espressioni come x^{2k} per k intero positivo o da espressioni riconducibili a queste mediante traslazioni, omotetie, ... .

Generalizzazioni[modifica | modifica sorgente]

Caso complesso[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di funzioni o curve considerate a variabile complessa, non è possibile dare una definizione del tutto analoga, perché i numeri complessi non hanno un ordinamento, e quindi non ha senso parlare di "cambiamento di segno" della derivata o curvatura.

Per questo motivo solitamente si definisce un punto di flesso per una curva o funzione come un punto in cui la retta tangente ha "molteplicità di intersezione" (cioè "ordine di contatto") con la curva almeno 3. Tale molteplicità è "di solito" 2, quindi i punti di flesso sono punti "eccezionali" della curva.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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