Filtro a coseno rialzato

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Il filtro a coseno rialzato è un particolare tipo di filtro elettronico usato per sagomare l'impulso dati nei sistemi di modulazione digitale. La sua risposta impulsiva è nulla negli istanti multipli del tempo di simbolo, pertanto appartiene alla famiglia dei filtri di Nyquist, i quali riducono l'interferenza intersimbolica (ISI).

Il nome discende dal fatto che la porzione non nulla del suo spettro, almeno nella versione più semplice, è una funzione coseno rialzata sopra l'asse delle frequenze (si veda la figura in basso).

Descrizione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Il filtro a coseno rialzato realizza il filtro di Nyquist passa-basso, con la proprietà della simmetria vestigiale. Pertanto, il suo spettro possiede una simmetria dispari attorno a \frac{1}{2T}, ove T è il tempo di simbolo del sistema di comunicazioni.

La sua descrizione nel dominio della frequenza è fornita da una funzione a tratti data da:

H(f) = \begin{cases}
 T,
       & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\
 \frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right],
       & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\
 0,
       & \mbox{altrove}
\end{cases}
0 \leq \beta \leq 1

e caratterizzata da due parametri: \beta, il fattore di rotolamento (roll-off), e T, il tempo di simbolo (reciproco della frequenza di simbolo).

La risposta impulsiva di tale filtro è data da:

h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}}, in termini della funzione sinc normalizzata.
Risposta in ampiezza di un filtro a coseno rialzato per diversi valori di fattore di roll-off
Risposta impulsiva di un filtro a coseno rialzato per diversi valori di fattore di roll-off

Fattore di roll-off[modifica | modifica wikitesto]

Il fattore di roll-off, \beta, rappresenta una misura dell'eccesso di banda del filtro, cioè la banda occupata al di là della banda di Nyquist \frac{1}{2T}. Denotando con \Delta f l'eccesso di banda, allora:

\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f

ove R_S = \frac{1}{T} è la frequenza di simbolo.

Il grafico mostra la risposta in ampiezza quando \beta viene fatto variare tra 0 e 1, e l'effetto corrispondente sulla risposta impulsiva. Come si può notare, il livello di ondulazione nel dominio del tempo cresce al diminuire di \beta. Ciò dimostra come sia possibile ridurre l'eccesso di banda del filtro alle spese di un allungamento della risposta impulsiva.

\beta = 0[modifica | modifica wikitesto]

Quando \beta tende a 0, la zona di roll-off diventa sempre più stretta, quindi:

\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)

dove \mathrm{rect}(\cdot) è la funzione rettangolare, e la risposta impulsiva tende al \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right) ideale. Pertanto, converge ad un filtro passa-banda ideale.

\beta = 1[modifica | modifica wikitesto]

Quando \beta = 1, la parte non nulla dello spettro è un coseno rialzato puro, che conduce alla semplificazione:

H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}
 \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right],
       & |f| \leq \frac{1}{T} \\
 0,
       & \mbox{altrove}
\end{matrix} \right.

Larghezza di banda[modifica | modifica wikitesto]

La banda di un filtro a coseno rialzato è comunemente definita come la larghezza di banda della porzione non nulla del suo spettro, cioè:

BW = \frac{1}{2}R_S(1+\beta)

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Impulsi a coseno rialzato consecutivi permettono di dimostrare la proprietà di zero-ISI

Quando viene utilizzato per filtrare un flusso di simboli, un filtro di Nyquist ha la proprietà di eliminare l'ISI, dato che la sua risposta impulsiva è nulla ad ogni nT (dove n è un numero intero), eccetto che per n = 0.

Di conseguenza, se la forma d'onda trasmessa è correttamente campionata al ricevitore, i valori originali dei simboli possono essere completamente recuperati.

Comunque, nella maggior parte dei sistemi di comunicazione utilizzati nella pratica, un filtro adattato deve essere usato al ricevitore, a causa degli effetti del rumore bianco.

Questa condizione richiede il seguente vincolo, in presenza di canale ideale:

H_R(f) = H_T^*(f)

cioè:

|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}

Per soddisfare questo vincolo pur continuando a fornire ISI nulla, un filtro a radice di coseno rialzato è usato, tipicamente, ad entrambi gli estremi del sistema di telecomunicazioni. In questo modo la risposta totale del sistema è a coseno rialzato.


Infatti, in presenza di canale attivo con risposta impulsiva C(f), si ha:

|H_R(f)|=k |H_{TC}(f)| con H_{TC}(f)=H_T(f)C(f)

ed anche con:

H_N(f)=|H_T(f)||C(f)||H_R(f)|

con H_N(f) impulso di Nyquist a Coseno Rialzato, quindi:

|H_R(f)|=\sqrt{k}  \sqrt{|H_N(f)|}

ed anche:

H_T(f)=\frac{1}{\sqrt{k}}  \frac{\sqrt{|H_N(f)|}}{C(f)}

Nel caso particolare di un sistema P.A.M. binario si ha: k=1/E_b, con E_b l'Energia per bit.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • I. Glover, P. Grant (2004). Digital Communications (2ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4
  • J. Proakis (1995). Digital Communications (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]