Filtro a coseno rialzato

Il filtro a coseno rialzato è un particolare tipo di filtro elettronico usato per sagomare l'impulso dati nei sistemi di modulazione digitale. La sua risposta impulsiva è nulla negli istanti multipli del tempo di simbolo, pertanto appartiene alla famiglia dei filtri di Nyquist, i quali riducono l'interferenza intersimbolica (ISI).

Il nome discende dal fatto che la porzione non nulla del suo spettro, almeno nella versione più semplice, è una funzione coseno rialzata sopra l'asse delle frequenze (si veda la figura in basso).

Descrizione matematica

Il filtro a coseno rialzato realizza il filtro di Nyquist passa-basso, con la proprietà della simmetria vestigiale. Pertanto, il suo spettro possiede una simmetria dispari attorno a $\frac{1}{2T}$, ove $T$ è il tempo di simbolo del sistema di comunicazioni.

La sua descrizione nel dominio della frequenza è fornita da una funzione a tratti data da:

$H(f) = \begin{cases} T, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{T}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right], & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \mbox{altrove} \end{cases}$

$0 \leq \beta \leq 1$

e caratterizzata da due parametri: $\beta$, il fattore di rotolamento (roll-off), e $T$, il tempo di simbolo (reciproco della frequenza di simbolo).

La risposta impulsiva di tale filtro è data da:

$h(t) = \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \frac{4\beta^2 t^2}{T^2}}$, in termini della funzione sinc normalizzata.

Risposta in ampiezza di un filtro a coseno rialzato per diversi valori di fattore di roll-off

Risposta impulsiva di un filtro a coseno rialzato per diversi valori di fattore di roll-off

Fattore di roll-off

Il fattore di roll-off, $\beta$, rappresenta una misura dell'eccesso di banda del filtro, cioè la banda occupata al di là della banda di Nyquist $\frac{1}{2T}$. Denotando con $\Delta f$ l'eccesso di banda, allora:

$\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\Delta f$

ove $R_S = \frac{1}{T}$ è la frequenza di simbolo.

Il grafico mostra la risposta in ampiezza quando $\beta$ viene fatto variare tra 0 e 1, e l'effetto corrispondente sulla risposta impulsiva. Come si può notare, il livello di ondulazione nel dominio del tempo cresce al diminuire di $\beta$. Ciò dimostra come sia possibile ridurre l'eccesso di banda del filtro alle spese di un allungamento della risposta impulsiva.

$\beta = 0$

Quando $\beta$ tende a 0, la zona di roll-off diventa sempre più stretta, quindi:

$\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \mathrm{rect}(fT)$

dove $\mathrm{rect}(\cdot)$ è la funzione rettangolare, e la risposta impulsiva tende al $\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$ ideale. Pertanto, converge ad un filtro passa-basso ideale.

$\beta = 1$

Quando $\beta = 1$, la parte non nulla dello spettro è un coseno rialzato puro, che conduce alla semplificazione:

$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right], & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \mbox{altrove} \end{matrix} \right.$

Larghezza di banda

La banda di un filtro a coseno rialzato è comunemente definita come la larghezza di banda della porzione non nulla del suo spettro, cioè:

$BW = \frac{1}{2}R_S(1+\beta)$

Applicazioni

Impulsi a coseno rialzato consecutivi permettono di dimostrare la proprietà di zero-ISI

Quando viene utilizzato per filtrare un flusso di simboli, un filtro di Nyquist ha la proprietà di eliminare l'ISI, dato che la sua risposta impulsiva è nulla ad ogni $nT$ (dove $n$ è un numero intero), eccetto che per $n = 0$.

Di conseguenza, se la forma d'onda trasmessa è correttamente campionata al ricevitore, i valori originali dei simboli possono essere completamente recuperati.

Comunque, nella maggior parte dei sistemi di comunicazione utilizzati nella pratica, un filtro adattato deve essere usato al ricevitore, a causa degli effetti del rumore bianco.

Questa condizione richiede il seguente vincolo, in presenza di canale ideale:

$H_R(f) = H_T^*(f)$

cioè:

$|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}$

Per soddisfare questo vincolo pur continuando a fornire ISI nulla, un filtro a radice di coseno rialzato è usato, tipicamente, ad entrambi gli estremi del sistema di telecomunicazioni. In questo modo la risposta totale del sistema è a coseno rialzato.

Infatti, in presenza di canale attivo con risposta impulsiva $C(f)$, si ha:

$|H_R(f)|=k |H_{TC}(f)|$ con $H_{TC}(f)=H_T(f)C(f)$

ed anche con:

$H_N(f)=|H_T(f)||C(f)||H_R(f)|$

con $H_N(f)$ impulso di Nyquist a Coseno Rialzato, quindi:

$|H_R(f)|=\sqrt{k} \sqrt{|H_N(f)|}$

ed anche:

$H_T(f)=\frac{1}{\sqrt{k}} \frac{\sqrt{|H_N(f)|}}{C(f)}$

Nel caso particolare di un sistema P.A.M. binario si ha: $k=1/E_b$, con $E_b$ l'Energia per bit.

Bibliografia

• I. Glover, P. Grant (2004). Digital Communications (2ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4
• J. Proakis (1995). Digital Communications (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5

Collegamenti esterni

• Articolo tecnico intitolato The care and feeding of digital, pulse-shaping filters, pubblicato da "RF design".