Fattore di impacchettamento atomico

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In cristallografia, con il termine fattore di impacchettamento atomico (o fattore di impilaggio o fattore di compattazione atomica o FCA o APF, dall'inglese Atomic packing factor) viene indicata la frazione del volume della struttura cristallina occupata dagli atomi.

Il fattore di impacchettamento atomico è un numero adimensionale e assume valori compresi tra 0 e 1. Viene calcolato assumendo che ogni atomo sia rappresentato da una sfera rigida di raggio pari al raggio atomico.

Nel caso di cristalli costituiti da un singolo elemento chimico, il fattore di impacchettamento atomico può essere ricavato dalla seguente relazione:

\mathrm{APF} = \frac{N_\mathrm{atomi} V_\mathrm{atomo}}{V_\mathrm{cella unitaria}}

in cui:

  • Natomi è il numero di "atomi" nella cella unitaria;
  • Vatomo è il volume di ciascun atomo;
  • Vcella unitaria è il volume occupato da una cella unitaria.

Particolare attenzione bisogna prestare nel calcolare Natomi: infatti nel caso in cui un atomo si trova in un vertice di una cella cubica bisognerà contare solo 1/8 di atomo, in quanto solo 1/8 del suo volume è compreso nella cella, e allo stesso modo se si trova al centro di una faccia della cella, essendo "tagliato in due" dalla faccia bisognerà contare solo mezzo atomo, in quanto la restante parte di atomo non si trova all'interno della cella considerata. Natomi è quindi la somma di tutte queste "parti di atomi", che non corrisponde al numero di atomi che intersecano la cella unitaria.

Nel caso di struttura cristallina composta da un solo elemento, il massimo valore che può assumere il fattore di impacchettamento atomico è pari a 0,74 (nell'ipotesi di sfere rigide), mentre nel caso di struttura cristallina contenente più elementi si possono avere valori del fattore di impacchettamento atomico maggiori di 0,74.

Calcolo del fattore di impacchettamento atomico[modifica | modifica wikitesto]

Reticolo cubico a corpo centrato[modifica | modifica wikitesto]

Cella unitaria di un reticolo cubico a corpo centrato

Nel caso di cella cubica a corpo centrato (CCC) in ogni cella ci sono 8 atomi ai vertici e 1 atomo al centro, per un totale di 9. Di questi 9 atomi solo quello centrale è interamente contenuto nella cella, mentre gli altri atomi occupano la cella solo con 1/8 del loro volume, per cui:

Natomi = 1 + 8×(1/8) = 2

Si può osservare che la lunghezza a della cella è correlata al raggio atomico r attraverso la seguente relazione:

a = \frac{4r}{\sqrt{3}}

Sapendo che il volume di ogni atomo è pari a (4/3)pi r3, si ottiene:

\mathrm{APF} = \frac{N_\mathrm{atomi} V_\mathrm{atomo}}{V_\mathrm{cella unitaria}} = \frac{2 (4/3)\pi r^3}{(4r/\sqrt{3})^3}


= \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0,68.

Reticolo esagonale compatto[modifica | modifica wikitesto]

Cella unitaria di un reticolo esagonale compatto

Nel caso del reticolo esagonale compatto (EC), indicando con a il lato dell'esagono di base e con c l'altezza della cella, si ottiene:

a = 2r


c =\sqrt{\frac{2}{3}} (4r)

da cui:

\mathrm{APF} = \frac{N_\mathrm{atomi} V_\mathrm{atomo}}{V_\mathrm{cella unitaria}} = \frac{6 (4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2]a^2 c}


= \frac{6 (4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](2r)^2 \sqrt{\frac{2}{3}} (4r)} = \frac{6 (4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2] \sqrt{\frac{2}{3}} (16r^3)}


= \frac{\pi}{\sqrt{18}} \approx 0,74.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Schaffer, Saxena, Antolovich, Sanders, and Warner, The Science and Design of Engineering Materials, Second Edition, New York, WCB/McGraw-Hill, 1999, pp. 81–88.
  • Callister, W., Materials Science and Engineering, Sixth Edition, San Francisco, John Wiley and Sons, 2002, pp. 105–114.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]