Ex falso sequitur quodlibet

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La locuzione latina ex falso (sequitur) quodlibet (ossia: "dal falso (segue una) qualsiasi cosa (scelta) a piacere") indica nella logica classica (valido anche per la logica intuizionista) un principio logico che stabilisce come da un enunciato contraddittorio consegue logicamente qualsiasi altro enunciato. La definizione ex falso quodlibet per questo teorema è tradizionalmente attribuita a Duns Scoto, sebbene in realtà sia opera di un autore sconosciuto[1], pertanto a volte ci si riferisce ad esso anche come teorema dello pseudo Scoto.

Nel linguaggio della logica proposizionale possiamo esprimere il principio con la formula:

(A  \land \lnot A) \to B.

Tale principio è stato utilizzato nella scolastica anche come pretesa di spiegazione di come Dio abbia creato l'Universo a partire dalla negazione del principio di non contraddizione. Ma ai sostenitori di questa teoria spesso veniva ribattuto che, invece, in base alla consequentia mirabilis, si poteva creare anche a partire dal nulla proprio grazie al principio di non contraddizione.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Siano A e B due affermazioni, e \neg A l'opposto di A. Si ha allora

 (A \wedge \neg A).\,

Ossia "A e NON A" è vera, Posso allora inserire "(A e NON A) O B" essendo vera la prima, è vera anche questa.

 (A \wedge \neg A)\vee B

Per la proprietà distributiva

 (A \vee B) \wedge (\neg A\vee B)

Ricordando che

 (A  \wedge \neg A) \rarr B

equivale a

 \neg(A  \wedge \neg A) \vee B

cioè, applicando le leggi di De Morgan e negando

\neg (\neg\neg A  \vee \neg \neg \neg A)  \vee B
(A  \wedge \neg A)  \vee B

Dato che abbiamo supposto vero  (A  \wedge \neg A), B deve essere vero a prescindere dalla verità di A e del suo contrario. Per questa proprietà, viene anche detto principio di esplosione.

Dimostrazione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Una dimostrazione alternativa è la seguente:

  1. (A \wedge\neg A) (ipotesi)
  2.  A\,
  3. \neg A
  4. (A \vee B) per la 2
  5. \neg (\neg A \wedge \neg B) De Morgan
  6. \neg\neg B per la 3
  7.  B per la doppia negazione.

È interessante osservare che una contraddizione, implicando qualsiasi affermazione, implica anche qualsiasi contraddizione. Si può quindi sostenere l'equivalenza e quindi la banalità, in senso matematico, delle contraddizioni e dei sistemi che le contengono. Va comunque ricordato che, dal secondo teorema di incompletezza di Gödel, deriva che dato un sistema formale che includa almeno l'aritmetica di Robinson, o esso è incompleto, non potendo dimostrare almeno la propria coerenza, o è contraddittorio.

Esempio di Bertrand Russell[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo ricordare un ironico esempio a suo tempo proposto da Bertrand Russell. Supponiamo che sia vera una affermazione falsa come 4=5 (l'affermazione A nella notazione vista sopra può essere : "4 è diverso da 5" e non-A: "4 è uguale a 5" ), allora sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo: 2=1. Ora, io e il Papa siamo due, ma 2=1 quindi io e il Papa siamo uno, quindi io sono il Papa.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Piergiorgio Odifreddi, Il diavolo in cattedra. La logica da Aristotele a Gödel. Torino, Einaudi, 2003. ISBN 8806167219.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]