Equilibrio dinamico (meccanica)

Per un qualunque meccanismo, un sistema cinematico che di conseguenza è un sistema labile, (ad es. un manovellismo, un sistema costituito da leveraggi, un quadrilatero articolato), vale l’equazione generale delle macchine:

$L_m + L_r + L_p = {\Delta E_c }$

La somma algebrica dei lavori compiuti in un certo intervallo di tempo, da tutte le forze agenti sugli elementi della macchina, eguaglia la variazione di energia cinetica del sistema durante il medesimo intervallo di tempo.

Dove:

• $L_m$ è il lavoro motore, applicato dall’esterno sul sistema, che risponderà con uno spostamento generalizzato (spostamento o rotazione a seconda dei casi) rigido, quindi non in presenza di un campo di deformazioni
• $L_r$ è il lavoro resistente, anch’esso applicato dall’esterno sul sistema, contributo di elementi sui quali non agisce una forza o coppia motrice, dovuto a quelle cause che si oppongono al moto, quale ad esempio la forza peso del sistema stesso quando non produce potenza attiva. Poiché si oppone al moto, avrà segno opposto rispetto a $L_m$, quindi, se lo consideriamo con segno, sarà negativo
• $L_p$ è il lavoro perduto, dovuto alle azioni d’attrito interne al sistema dinamico stesso. Anch’esso si oppone al moto, quindi, avrà segno opposto al primo termine, cioè negativo.
• $\Delta E_c$ a secondo membro, è la variazione dell’energia cinetica posseduta dal sistema. Essa è nulla in condizioni di regime (velocità lineari e angolari costanti), positiva se il sistema accelera, negativa se decelera. Nel primo caso, di conseguenza, introduciamo lavoro motore nella macchina, che si va a distribuire negli altri termini, con incremento di velocità del sistema, ad esempio nei transitori di avviamento; in quest’ultimo caso, invece, si avrà lavoro motore a scapito di energia cinetica

Derivando membro a membro rispetto al tempo, è possibile scriverla in termini di potenza e si ha:

$W_m + W_r + W_p = \frac {\operatorname {d}\ E_c }{\operatorname {d} t}$

Essendo:

• $W_m$ la potenza motrice del sistema, quindi la potenza attiva applicata dall’esterno al sistema stesso
• $W_r$ la potenza resistente, che si oppone al moto degli elementi del sistema, dovuta all’azione di forze e coppie resistenti esterne, che assorbono questa aliquota di potenza
• $W_p$ la potenza perduta, dissipata per attrito interno agli elementi del sistema
• $W_i = - \frac {\operatorname {d}\ E_c }{\operatorname {d} t}$ la variazione di energia cinetica rispetto al tempo, quindi è un termine inerziale: se le forze e le coppie resistenti sono di elevata intensità, le variazioni di energia cinetica saranno piccole, poiché il sistema sarà contrastato nelle accelerazioni dei suoi membri.

Da notare che la distinzione fra lavoro (potenza) perduto e lavoro (potenza) resistente è puramente convenzionale: entrambi sono termini che si oppongono alle cause atte a produrre il moto. Si può, quindi scrivere:

$W_m + W_r + W_p + W_i = 0$

Questa è l’equazione che esprime l’equilibrio dinamico di un meccanismo: durante il moto la sommatoria delle potenze che agiscono sul sistema è nulla.

Voci correlate

• Equilibrio meccanico

Bibliografia

• E. Funaioli - A. Maggiore - A. Meneghetti, Lezioni di meccanica applicata alle macchine, Vol. 1, Pàtron Editore, 1994, p. 28

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