Equazione retrospettiva di Kolmogorov

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Lo studio dell'equazione retrospettiva di Kolmogorov consente di dare una rappresentazione della soluzione di una classe di equazioni differenziali alle derivate parziali in termini di valori di aspettazione di alcuni processi stocastici. Tale risultato fu pubblicato dal matematico russo Andrej Nikolaevič Kolmogorov nel 1931.

Sia X(t)\in \R^m un processo di diffusione con coefficienti (deriva e diffusione) \vec{a} e B. Sia g:\R^m \rightarrow \R una funzione (misurabile) e limitata, ossia tale che \forall A \in B(\R) e g^{-1}(A)\in B(\R^m) e tale che |g(\vec{x})| < \infty, \, \forall \vec{x}\in \R^m. Definiamo attraverso la g la funzione u: \R^+ \times \R^m \rightarrow \R:

u(t,x) = E^{t,x}[g(X(s))] =E[g(X(s))| X(t)=x]

ossia l'aspettazione del valore della funzione g quando il processo è al tempo s, condizionata al fatto che al tempo t (precedente ad s) il processo era in x.

Si può dimostrare che:

  • la funzione u è continua e limitata, come pure le sue derivate parziali prime u'_{x_i} e seconde u''_{x_i x_j} rispetto alle m variabili x_i con i,j=1, \ldots m;
  • inoltre u è differenziabile rispetto al tempo con derivata u'_t
  • la funzione u soddisfa un'equazione differenziale alle derivate parziali ordinaria (cioè non stocastica) del secondo ordine (perché coinvolge le derivate parziali seconde di u), detta equazione retrospettiva di Kolmogorov:

\left \{
\begin{array}{l}
u'_t + \sum_{i=1}^m a_i(t,x) u'_{x_i} + {1\over 2}\sum_{i,j=1}^m b_{ij}(t,x) 
u''_{x_i x_j} = 0\\
\lim_{t\uparrow s} u(t,x) = g(x)
\end{array} \right.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica