Equazione differenziale esatta

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Un'equazione differenziale esatta è un'equazione differenziale ordinaria riconducibile ad un differenziale esatto.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si considerino un insieme semplicemente connesso e aperto D \subset \R^2 e due funzioni I e J continue su D. L'equazione differenziale implicita:

I(x, y)\, \mathrm{d}x + J(x, y)\, \mathrm{d}y = 0

è un'equazione differenziale esatta se esiste una funzione differenziabile con continuità F, detta potenziale, spesso indicato con U, tale che:

\frac{\partial F}{\partial x}(x, y) = I \qquad \frac{\partial F}{\partial y}(x, y) = J

Il termine "esatta" si riferisce alla derivata totale di una funzione, detta talvolta "derivata esatta", che per una funzione F(x_0, x_1,...,x_{n-1},x_n) è data in x_0 da:

\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}x_0}

Nelle applicazioni fisiche I e J non sono solitamente solo continue, ma anche differenziabili con continuità, ed il teorema di Schwarz fornisce allora una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione potenziale F (per equazioni definite su un insieme non semplicemente connesso tale criterio è solo necessario). Esso esiste se e solo se:

\frac{\partial I}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial J}{\partial x}(x, y)

Metodo risolutivo[modifica | modifica wikitesto]

Per trovare la soluzione, si consideri l'equazione nella forma:

 p(x,y)dx + q(x,y) {dy} =0

Integrando p rispetto ad x, dato che si tratta di una funzione in due variabili invece di una costante d'integrazione si ha una funzione f(y) in y:

P(x,y) = \int {p(x,y)dx} + f(y)

Dal momento che:

 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x}

si ottiene l'uguaglianza:

q(x,y) = \frac { \partial \left [ {\int {p(x,y)dx}  + f(y)} \right ] } {\partial y} =  \left [ {\int {p(x,y)dx}  } \right ]_y  + f'(y)

e risolvendo rispetto ad f'(y) si ha:

f'(y) = q(x,y) - \left [ { \int {p(x,y)dx} }  \right ]_y

Integrando:

f(y) = \int { \left \{ q(x,y) - \left [ {\int {p(x,y)dx}  } \right ]_y  \right \} dy} +C

Sostituendo questo valore in P(x,y) si ottiene la soluzione finale dell'equazione:

P(x,y) = \int {p(x,y)dx} +  \int { \left \{ q(x,y) - \left [ \int {p(x,y)dx} \right ] _y \right \} dy} + C

Facendo la scelta opposta di variabili si ha, analogamente:

Q(x,y) = \int {q(x,y)dy} +  \int { \left \{ p(x,y) - \left [ \int {q(x,y)dy} \right ] _x \right \} dx} + C

Queste sono soluzioni implicite, da cui si possono ricavare soluzioni esplicite solo se la P o la Q sono invertibili.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato:

 {xy (2\operatorname {log} x - 3)} y'=- y^2

con alcuni passaggi si ottiene:

 \frac {y^2} x dx +y( 2\operatorname {log} x - 3 )dy = 0

di cui una soluzione banale è y=0. Per calcolare le altre soluzioni, la condizione:

 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x}

è soddisfatta e quindi si può calcolare l'integrale rispetto ad x del primo termine:

\int {p(x,y)dx} =\int { \frac {y^2} x dx } = y^2 \operatorname {log} x

Per la seconda parte si deve derivare questa funzione rispetto ad y, sottrarla da q(x,y), e poi integrare il tutto rispetto ad y:

 \int { \left \{ q(x,y) - \left [ {\int {p(x,y)dx}  } \right ]_y  \right \} dy} = \int { \left [ y( 2 \operatorname {log} x - 3 ) -  \left ( {y^2 \operatorname {log} x }\right )_y \right ] dy} = - \int { 3y dy} = -\frac 3 2 y^2 + C

Quindi la soluzione implicita è:

y^2 \operatorname {log} x -\frac 3 2 y^2 = C

da cui si ricava facilmente:

y = \pm \sqrt{2C} \sqrt {\frac 1 {2 \operatorname {log} x -3}}

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

Un caso particolare è quello in cui l'equazione assume la forma:

 y p(xy) dx + x q(xy) {dy} =0

Definendo z = xy, allora dx = dz / y e dy = dz / x. Sostituendo e risolvendo si ottengono due soluzioni:

\left \{
\begin{matrix}
& { p \neq q :} & x = e^ { \int { \frac {q(v)} {c[ q(v)-p(v)]} dv} }  \\
& { p= q:} & xy=c 
\end{matrix}
\right  .

Un altro caso particolare è quello in cui si ottiene una forma del tipo:

\frac {dy}{dx}= f(x,y)

dove sostituendo v = y/x in f(x,y) si ha una funzione g(v) nella sola variabile v. Allora, ponendo y = xv si ha:

\frac {dy} {dx} = x \frac  {dv} {dx} + v

Sostituendo:

x \frac  {dv} {dx} + v = g(v)

se g(v) = v, la soluzione banale è y=cx. Altrimenti:

 \frac  {dx} {x} = \frac {dv}{g(v) - v}

integrando:

 \operatorname{log }x = \int {\frac {dv}{g(v) - v}} + c_0

cioè:

 x = c e^{\int {\frac {dv}{g(v) - v}}}

con c = e^{c_0}.

Equazioni differenziali riconducibili ad esatte[modifica | modifica wikitesto]

Una variante delle equazioni differenziali esatte sono quelle per cui non vale l'uguaglianza delle derivate miste, ossia:

 \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} \neq \frac {\partial q(x,y) } {\partial x}

ed è possibile trovare una funzione \mu, detta fattore d'integrazione, tale che:

 \frac {\partial [\mu p(x,y)]} {\partial y} = \frac {\partial [ \mu q(x,y)] } {\partial x}

Esplicitando le derivate:

 \mu \frac {\partial p(x,y)} {\partial y}  + p(x,y)  \frac {\partial \mu} {\partial y} = \mu \frac {\partial q(x,y) } {\partial x} + q(x,y)  \frac {\partial \mu} {\partial x}

e risolvendo rispetto a \mu si ottiene:

 \mu = \frac { q(x,y)  \frac {\partial \mu} {\partial x} -  p(x,y)  \frac {\partial \mu} {\partial y} } {\frac {\partial p} {\partial y}- \frac {\partial q} {\partial x}}

Se è possibile trovare una funzione \mu di questo tipo, allora si sostituiscono P(x,y)=\mu p(x,y) e Q(x,y)=\mu q(x,y) al posto di p e q e se ne trovano le soluzioni (implicite). Generalmente questo è molto difficile o impossibile, tuttavia esistono due casi particolari in cui è possibile trovare tale funzione.

Primo caso[modifica | modifica wikitesto]

Il primo metodo di risoluzione consiste nel cercare un fattore d'integrazione \mu tale che

 \frac {\partial \mu } {\partial y} = 0

e dunque esplicitando:

 \mu \frac {\partial p} {\partial y}  = \mu \frac {\partial q } {\partial x} + q  \frac {\partial \mu} {\partial x}

Risolvendo rispetto a \mu':

   \frac {\partial \mu} {\partial x} = \frac {\mu \left( \frac {\partial p} {\partial y} -  \frac {\partial q } {\partial x} \right )} q = f(x,y) \mu (x)

Per quanto detto sopra, la f(x,y) deve essere necessariamente funzione della sola x, altrimenti non potrebbe essere nulla la derivata parziale di \mu rispetto ad y. La cosa si dimostra ricordando che f_{xy} deve essere uguale a f_{yx}. In questo caso si ha:

 \frac {\partial \mu} {\partial x} = f(x) \mu (x)

che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine, la cui soluzione è:

   \mu(x)= e ^{\int f(x)}= e ^{\int {\frac { \left( \frac {\partial p} {\partial y} -  \frac {\partial q } {\partial x} \right )} q}}

Sostituendo dunque \mu nell'equazione si ottiene:

 [ \mu p(x,y)]dx + [ \mu q(x,y)]dy = 0

che si risolve come nel caso precedente. Nulla cambia nel procedimento scegliendo nulla la derivata di \mu rispetto ad y, ovviamente scambiando p con q e x con y nelle formule sopra.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Sia dato:

 \frac {y^2} 2 \operatorname{log}x dx + y dy = 0

Una soluzione banale è y=0. Per le altre soluzioni, le derivate di p rispetto ad y e di q rispetto ad x non sono uguali. Provando a calcolare \mu si ha:

 \mu(x)= e ^{\int {\frac { \left( \frac {\partial p} {\partial y} -  \frac {\partial q } {\partial x} \right )} q}} = e^{\int {\frac {y \operatorname{log} x - 0 } {y} } }= e^{x \operatorname{log} x -x} = x^xe^{-x}

Sostituendo:

  x^xe^{-x} \frac {y^2} 2 \operatorname{log}x dx +  x^xe^{-x} y dy = 0

integrando p rispetto ad x:

  \int {   x^xe^{-x} \frac {y^2} 2 \operatorname{log}x dx  }  = \frac {y^2} 2 x^xe^{-x}

derivando rispetto ad y si ottiene y x^xe^{-x}. Sostituendo:

P(x,y) = \frac {y^2} 2 x^xe^{-x} + \int { ( x^xe^{-x} y - y x^xe^{-x} })dy + C =  \frac {y^2} 2 x^xe^{-x} + C

la soluzione implicita è:

\frac {y^2} 2 x^xe^{-x} = C

da cui:

y =  \pm \sqrt {2C} \sqrt {\frac 1 {x^xe^{-x} } } = \pm \sqrt {2C} \sqrt {\frac {e^x} {x^x} }

Secondo caso[modifica | modifica wikitesto]

Un secondo metodo consiste nel cercare una \mu tale che:

 \mu (x,y)= g(xy)

In questo caso si ha:

 \frac {\partial \mu } {\partial x} = \frac {\partial g } {\partial x} y \qquad  \frac {\partial \mu } {\partial y} = \frac {\partial g } {\partial y} x

che combinate danno:

 \frac {\partial \mu } {\partial x} = \frac y x \frac {\partial \mu } {\partial y}

e sostituendo nell'equazione con le derivate esplicite:

 \mu \frac {\partial p(x,y)} {\partial y}  + p(x,y)  \frac {\partial \mu} {\partial y} = \mu \frac {\partial q(x,y) } {\partial x} + \frac y x q(x,y)  \frac {\partial \mu } {\partial y}

Risolvendo rispetto a \mu' si ha:

  \frac {\partial \mu} {\partial y} \left [ p(x,y)  - \frac y x q(x,y) \right ]= \mu \left [ \frac {\partial q(x,y) } {\partial x}  - \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} \right ]

e con alcuni passaggi si ottiene:

  \frac 1 x \frac {\partial \mu} {\partial y} = \mu \frac {\frac {\partial q(x,y) } {\partial x}  - \frac {\partial p(x,y)} {\partial y} } { x p(x,y)  - y q(x,y)}

Se si effettua una sostituzione z = xy si ha z_y=x, e perciò:

  \frac {\partial \mu} {\partial z} = \mu(z) \frac {\frac {\partial q } {\partial x}  - \frac {\partial p} {\partial y} } { x p  - y q } = f(x,y) \mu(z)

Per quanto detto, f(x,y) deve essere necessariamente funzione della sola z=xy. Quindi:

   \mu(z)= e ^{\int f(z)}= e ^{\int {\frac {\frac {\partial q } {\partial x}  - \frac {\partial p} {\partial y} } { x p  - y q } } }

Sostituendo quindi \mu nell'equazione si ottiene un'equazione esatta, risolubile come in precedenza.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica