Equazione di Rankine-Hugoniot

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L'Equazione di Rankine-Hugoniot governa il comportamento di un'onda d'urto ortogonale al flusso in entrata.

Si consideri un flusso regolare e monodimensionale, soggetto alle equazioni di Eulero e si imponga la conservazione di massa, quantità di moto ed energia. Sotto queste ipotesi, si perviene a tre equazioni, nelle quali si semplificano le due velocità u_1 and u_2.

Usualmente, si denotano le condizioni del flusso a monte con il pedice "1" e con il pedice "2" quelle del flusso a valle. In questo contesto, \rho è la densità, u la velocità, p la pressione. Con e indichiamo l'energia interna per unità di massa.

Se a questo punto si considera un gas ideale, l'equazione di stato assume la forma  p=\rho(\gamma-1)e. Ricordiamo che \gamma è il rapporto fra i calori specifici a pressione costante e a volume costante.

Le seguenti equazioni indicano rispettivamente la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, ipotizzate in precedenza:

\rho_1u_1=\rho_2u_2
p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2
u_1\left(p_1+\rho_1e_1+\rho_1u_1^2/2\right)=
       u_2\left(p_2+\rho_2e_2+\rho_2u_2^2/2\right)

Si notino le tre componenti dell'energia: il lavoro meccanico, l'energia potenziale (interna) e l'energia cinetica.

Risolvendo le prime due equazioni rispetto ad u_1 e u_2 per eliminare le due velocità e sostituendo nell'ultima, si arriva alla seguente equazione:


2\left(h_2-h_1\right)=\left(p_2-p_1\right)\cdot
\left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)
,

dove h=\frac{p}{\rho} + e è l'entalpia.

Poiché le pressioni sono entrambe positive, il rapporto delle densità non è mai maggiore di (\gamma+1)/(\gamma-1), oppure di 6 nel caso dell'aria (per la quale \gamma vale circa 1,4).

Al crescere della forza dell'onda d'urto, il gas del flusso a valle diviene sempre più caldo, il rapporto delle densità \rho_2/\rho_1 tende ad un limite finito, pari a 4 per un gas monoatomico (\gamma = 5/3), e a 6 per un gas biatomico (\gamma= \frac {7 / 2} {5 / 2}= 1{,}4).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Rankine, W. J. M. , On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbances, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 160, (1870), p. 277.
  • Hugoniot, H., Propagation des Mouvements dans les Corps et spécialement dans les Gaz Parfaits, Journal de 1’Ecole Polytechnique, 57, (1887), p. 3; 58, (1889), p. 1.
  • Salas, M. D. The Curious Events Leading to the Theory of Shock Waves, Invited lecture at the 17th Shock Interaction Symposium (Roma, 4-8 settembre 2006).
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