Equazione di Rankine-Hugoniot

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In fluidodinamica, l'equazione di Rankine-Hugoniot è una equazione differenziale ordinaria in due variabili derivata dalle equazioni di Eulero per un fluido inviscido nel caso di un'onda d'urto ortogonale al flusso in entrata.

Trattazione semplificata[modifica | modifica wikitesto]

A partire dalla conservazione della portata, e dell'entropia e con l'assenza di lavoro isocoro, rispettivamente:


\left\{
\begin{matrix}
\operatorname d (\rho A v) = 0\\
\operatorname v \operatorname d v + p \operatorname d \frac{1}{\rho} = 0\\
\end{matrix}
\right.,

Esplicitando in base alla regola di Leibniz la prima equazione ed esprimendo pressione p in densità e numero di Mach, si ottiene:


\left\{
\begin{matrix}
\frac {\operatorname  d \rho}{\rho} + \frac {\operatorname  d A}{A} + \frac {\operatorname  d v}{v} = 0\\
\frac {\operatorname d v}{v} + {\mathrm{Ma}^{-2}}\frac {\operatorname d {\rho}}{\rho} = 0\\
\end{matrix}
\right.

Equivalenti alle equazioni di Hugoniot:

  • \frac {\operatorname d A}{A}-\frac {1-\mathrm{Ma}^2}{\mathrm{Ma}^2}\frac {\operatorname  d \rho}{\rho}=0
  • \frac {\operatorname d A}{A}+(1-\mathrm{Ma}^2) \frac {\operatorname  d v}{v}=0
  • \frac {\operatorname d A}{A}-(1-\mathrm{Ma}^2) \frac {\operatorname  d p}{\rho v^2}= 0

La seconda equazione dimostra chiaramente come, se si voglia accelerare una portata, occorra un condotto convergente in regime subsonico e divergente in regime supersonico, mentre la terza dimostra che con un condotto convergente nel primo caso si realizza una compressione (e si parla di diffusore) mentre nel secondo un'espansione (e si parla di ugello).

Trattazione generale[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un flusso regolare e monodimensionale, soggetto alle equazioni di Eulero e si imponga la conservazione di massa, quantità di moto ed energia. Sotto queste ipotesi, si perviene a tre equazioni, nelle quali si semplificano le due velocità u_1 and u_2.

Usualmente, si denotano le condizioni del flusso a monte con il pedice "1" e con il pedice "2" quelle del flusso a valle. In questo contesto, \rho è la densità, u la velocità, p la pressione. Con e indichiamo l'energia interna per unità di massa.

Se a questo punto si considera un gas ideale, l'equazione di stato assume la forma  p=\rho(\gamma-1)e. Ricordiamo che \gamma è il rapporto fra i calori specifici a pressione costante e a volume costante.

Le seguenti equazioni, dette equazioni di Hugoniot, indicano rispettivamente la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, ipotizzate in precedenza:

\rho_1u_1=\rho_2u_2
p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2
u_1\left(p_1+\rho_1e_1+\rho_1u_1^2/2\right)=
       u_2\left(p_2+\rho_2e_2+\rho_2u_2^2/2\right)

Si notino le tre componenti dell'energia: il lavoro meccanico, l'energia potenziale (interna) e l'energia cinetica.

Risolvendo le prime due equazioni rispetto ad u_1 e u_2 per eliminare le due velocità e sostituendo nell'ultima, si arriva alla seguente equazione:


2\left(h_2-h_1\right)=\left(p_2-p_1\right)\cdot
\left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)
,

dove h=\frac{p}{\rho} + e è l'entalpia.

Poiché le pressioni sono entrambe positive, il rapporto delle densità non è mai maggiore di (\gamma+1)/(\gamma-1), oppure di 6 nel caso dell'aria (per la quale \gamma vale circa 1,4).

Al crescere della forza dell'onda d'urto, il gas del flusso a valle diviene sempre più caldo, il rapporto delle densità \rho_2/\rho_1 tende ad un limite finito, pari a 4 per un gas monoatomico (\gamma = 5/3), e a 6 per un gas biatomico (\gamma= \frac {7 / 2} {5 / 2}= 1{,}4).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Rankine, W. J. M. , On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbances, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 160, (1870), p. 277.
  • Hugoniot, H., Propagation des Mouvements dans les Corps et spécialement dans les Gaz Parfaits, Journal de 1’Ecole Polytechnique, 57, (1887), p. 3; 58, (1889), p. 1.
  • Salas, M. D. The Curious Events Leading to the Theory of Shock Waves, Invited lecture at the 17th Shock Interaction Symposium (Roma, 4-8 settembre 2006).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]