Equazione di Rankine-Hugoniot

L'Equazione di Rankine-Hugoniot governa il comportamento di un'onda d'urto ortogonale al flusso in entrata.

Si consideri un flusso regolare e monodimensionale, soggetto alle equazioni di Eulero e si imponga la conservazione di massa, quantità di moto ed energia. Sotto queste ipotesi, si perviene a tre equazioni, nelle quali si semplificano le due velocità $u_1$ and $u_2$.

Usualmente, si denotano le condizioni del flusso a monte con il pedice "1" e con il pedice "2" quelle del flusso a valle. In questo contesto, $\rho$ è la densità, $u$ la velocità, $p$ la pressione. Con $e$ indichiamo l'energia interna per unità di massa.

Se a questo punto si considera un gas ideale, l'equazione di stato assume la forma $p=\rho(\gamma-1)e$. Ricordiamo che $\gamma$ è il rapporto fra i calori specifici a pressione costante e a volume costante.

Le seguenti equazioni indicano rispettivamente la conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, ipotizzate in precedenza:

$\rho_1u_1=\rho_2u_2$

$p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2$

$u_1\left(p_1+\rho_1e_1+\rho_1u_1^2/2\right)= u_2\left(p_2+\rho_2e_2+\rho_2u_2^2/2\right)$

Si notino le tre componenti dell'energia: il lavoro meccanico, l'energia potenziale (interna) e l'energia cinetica.

Risolvendo le prime due equazioni rispetto ad $u_1$ e $u_2$ per eliminare le due velocità e sostituendo nell'ultima, si arriva alla seguente equazione:

$2\left(h_2-h_1\right)=\left(p_2-p_1\right)\cdot \left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)$,

dove $h=\frac{p}{\rho} + e$ è l'entalpia.

Poiché le pressioni sono entrambe positive, il rapporto delle densità non è mai maggiore di $(\gamma+1)/(\gamma-1)$, oppure di 6 nel caso dell'aria (per la quale $\gamma$ vale circa 1,4).

Al crescere della forza dell'onda d'urto, il gas del flusso a valle diviene sempre più caldo, il rapporto delle densità $\rho_2/\rho_1$ tende ad un limite finito, pari a 4 per un gas monoatomico ($\gamma$ = 5/3), e a 6 per un gas biatomico ($\gamma= \frac {7 / 2} {5 / 2}= 1,4$).

Bibliografia

• Rankine, W. J. M. , On the thermodynamic theory of waves of finite longitudinal disturbances, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 160, (1870), p. 277.
• Hugoniot, H., Propagation des Mouvements dans les Corps et spécialement dans les Gaz Parfaits, Journal de 1’Ecole Polytechnique, 57, (1887), p. 3; 58, (1889), p. 1.
• Salas, M. D. The Curious Events Leading to the Theory of Shock Waves, Invited lecture at the 17th Shock Interaction Symposium (Roma, 4-8 settembre 2006).

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