Equazione di Ramanujan-Nagell

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In teoria dei numeri, l'equazione di Ramanujan-Nagell è la seguente equazione diofantea esponenziale:

2^n - 7 = x^2

Si hanno soluzioni per questa equazione solo per

n = 3, 4, 5, 7 e 15 [1].

che corrispondono a valori della x pari a 1, 3, 5, 11 e 181[2]. Ciò fu congetturato da Srinivasa Ramanujan e dimostrato da Trygve Nagell[3].

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione

2^n = x^2 + 7y^2

ammette una soluzione unica per x e y interi positivi dispari ed n ≥ 3. Questa equazione fu presa in considerazione da Eulero, che non la pubblicò.[4]

Bugeaud, Mignotte e Siksek[5] hanno risolto completamente l'equazione:

x^2 + 7 = y^n

Herrmann, Luca e Walsh[6] hanno risolto:

x^2 + 7y^4 = 2^{n_1} 7^{n_2} 11^{n_3}

Altri autori, tra cui Beukers[7], hanno studiato l'equazione:

x^2 - D = 2^n

con D intero. Apéry[8] dimostrò che, se D < 0 e D \neq -7, vi sono al più due soluzioni. Browkin e Schinzel[9] congetturarono che il numero di soluzioni è pari a due se solo se D = -23 oppure D = 1-2^k per qualche k \geq 3. Schinzel[10] dimostrò che, se D non è della forma 1-2^k, l'equazione ha al massimo una sola soluzione con n > 80. La congettura completa di Browkin e Schinzel fu dimostrata da Beukers.

Beukers ha anche considerato[11] l'ulteriore generalizzazione

x^2 - D = p^n

con D > 0 e p primo dispari non divisore di D, dimostrando che vi sono al più 4 soluzioni in interi positivi x ed n.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Sequenza A060728 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A038198 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ T. Nagell, The diophantine equation x2 + 7 = 2n, Arkiv matematik 4 (1960), 185–187.
  4. ^ A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, New York, 1999, ISBN 0-387-98219-1
  5. ^ Y. Bugeaud, M. Mignotte and S. Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II: The Lebesgue-Nagell equation, Compositio Mathematica 142 (2006), 31–62
  6. ^ E. Herrmann, F. Luca and P. G. Walsh, A note on the Ramanujan-Nagell equation, Publ. Math. Debrecen 64 (2004), no. 1-2, 21–30.
  7. ^ F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation I, Acta Arith. 38 (1980), 389–410. pdf
  8. ^ R. Apéry, Sur une équation diophantienne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 251 (1960), 1263-1264.
  9. ^ J. Browkin, A. Schinzel, On the equation 2n-D=y2, Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astronom. Phys. 8 (1960), pp.311-318.
  10. ^ A. Schinzel, On two theorems of Gelfond and some of their applications, Acta Arith. 13 (1967), 177-236.
  11. ^ F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation II, Acta Arith. 39 (1981), 113–123. pdf

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • M. A. Bennett, M. Filaseta and O. Trifonov, Yet another generalization of the Ramanujan-Nagell equation, 2007. pdf

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica