Equazione di Picard-Fuchs

In matematica per equazione di Picard-Fuchs si intende una equazione differenziale ordinaria lineare le cui soluzioni descrivono i periodi delle curve ellittiche. Essa prende il suo nome dai matematici Émile Picard e Lazarus Immanuel Fuchs.

Definizione

Sia

$j=\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}$

il j-invariante con $g_2$ e $g_3$ invarianti modulari della curva ellittica nella forma di Weierstrass:

$y^2=4x^3-g_2x-g_3.\,$

Si osserva che il j-invariante è un isomorfismo dalla superficie di Riemann H/ $\Gamma$ alla sfera di Riemann $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$; qui H denota il semipiano superiore e Γ il gruppo modulare. Con tali notazioni l'equazione di Picard-Fuchs ha la forma

$\frac{d^2y}{dj^2} + \frac{1}{j} \frac{dy}{dj} + \frac{31j -4}{144j^2(1-j)^2} y=0.\,$

Servendosi della Q-forma si ottiene

$\frac{d^2f}{dj^2} + \frac{1-1968j + 2654208j^2}{4j^2 (1-1728j)^2} f=0\,$

Soluzioni

Questa equazione si può porre in forma di equazione differenziale ipergeometrica. Due sue soluzioni linearmente indipendenti sono chiamate periodi delle funzioni ellittiches. Il rapporto dei due periodi è uguale al period ratio τ, la coordinata standard per il semipiano superiore. Il rapporto delle due soluzioni dell'equazione ipergeometrica è noto anche come mappa triangolare di Schwarz.

L'equazione di Picard-Fuchs si può porre nella forma di equazione differenziale di Riemann e di conseguenza le sue soluzioni possono essere lette direttamente in termini di funzioni P di Riemann. Si ottiene

$y(j)=P \left\{ \begin{matrix} 0 & 1 & \infty & \; \\ {1/6} & {1/4} & 0 & j \\ {-1/6\;} & {3/4} & 0 & \; \end{matrix} \right\}\,$

Pertanto ........ da proseguire

Identità

Questa soluzione soddisfa l'equazione differenziale

$(S\tau)(j)=\frac{3}{8(1-j)}+\frac{4}{9j^2}+\frac{23}{72j(1-j)}$

dove (Sf)(x) denota la derivata schwarziana della f rispetto alla x.

Generalizzazione

Nella geometria algebrica questa equazione si è dimostrato essere un caso molto speciale del fenomeno generale della connessione di Gauss-Manin.

Bibliografia

• J. Harnad and J. McKay, Modular solutions to equations of generalized Halphen type, Proc. R. Soc. London A 456 (2000), 261-294,

(Fornisce una introduzione piana, note storiche, riferimenti e varie interessanti identità e relazioni tra le soluzioni)

• J. Harnad, Picard-Fuchs Equations, Hauptmoduls and Integrable Systems, Chapter 8 (Pgs. 137-152) of Integrability: The Seiberg-Witten and Witham Equation (Eds. H.W. Braden and I.M. Krichever, Gordon and Breach, Amsterdam (2000)).

(Contiene ulteriori esempi di equazioni di Picard-Fuchs soddisfatte da funzioni modulari di genere 0, incluse le non triangolari; inoltre introduce le equazioni di Picard-Fuchs non omogenee come soluzioni speciali delle equazioni di tipo Painlevé per la deformazione isomonodromica.)

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