Equazione di Nernst-Planck

In elettromeccanica l'equazione di Nernst-Planck descrive la diffusione delle particelle attraverso una membrana selettiva immersa in un mezzo elettrolitico. La densità di corrente è funzione di un potenziale elettromeccanico scalare:

$\vec j= - k_{em} \nabla \phi_{em}$

Nell'ipotesi di linearità si possono sovrapporre la legge di Fick e la legge di Ohm:

$\vec j= - D_m \nabla \phi_m - u \phi_m \nabla \phi_e$

dove $D_m$ è la diffusività massica della specie, $- \nabla \phi_e$ il campo elettrostatico espresso come gradiente del potenziale elettrico, e $\mu$ è la mobilità elettrica, rapporto tra conducibilità meccanica e carica elettrica totale delle particelle:

$\mu = q k_m$

se esprimiamo la diffusività massica secondo la relazione di Einstein:

$D_m = R \phi_t \mu$

dove R è la costante dei gas, φ_T è la temperatura assoluta, otteniamo:

$\vec j= - R \phi_t \mu \nabla \phi_m- \mu \phi_m \nabla \phi_e$

Possiamo ora raccogliere rispetto all'operatore differenziale ottenendo l'Equazione di Nernst Planck:

$\vec j=- \frac {k \phi_m}{q} \nabla (R \phi_t \ln \phi_m + \phi_e)$,

che definisce un potenziale elettromeccanico: $\phi_{em}=R \phi_t \ln \phi_m + \phi_e$,

e una conducibilità elettromeccanica: $k_{em}={k_m \phi_m \over q}$.

Questa ha per definizione dimensione: $[k_{em}]= [L]^{-1} [T]^{-1} [A]^{-1}$

Voci correlate

• Legge di Fick
• Legge di Ohm

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