Equazione di Lagrange

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Si chiama equazione di Lagrange del primo ordine un'equazione differenziale del tipo:

y = x \cdot \psi_1(y') + \psi_2(y')

che è una forma più generale dell'equazione di Clairault.

[modifica] Metodo risolutivo

Scegliamo di chiamare la derivata y' = p e prendiamo i differenziali, chiaramente dy = p \cdot dx, di entrambi i membri:

1) \ y = x \cdot \psi_1(p) + \psi_2(p)
p dx = \psi_1(p) dx + x \cdot \psi^{'}_{1}(p) dp + \psi^{'}_{2}(p) dp

Dividiamo tutto per dp allora:

(\psi_1(p) - p) \frac{dx}{dp} + \psi^{'}_{1}(p) \cdot x + \psi^{'}_{2}(p) = 0

Questa è un'equazione differenziale lineare, infatti dividendo per (ψ1(p) − p), si ottiene un'equazione differenziale omogenea nella variabile x, del tipo:

y' + a(x) \cdot y + b(x) = 0.

La sua soluzione generale è della forma:

x = \phi_1(p) \cdot k + \phi_2(p)

dove k è una costante. Sostituendo questa nella 1) otteniamo infine:

y = \phi_3(p) \cdot k + \phi_4(p)

[modifica] Voci correlate


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