Equazione di Hill (matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, l'equazione di Hill è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, introdotta da George William Hill nel 1886, che ha la forma:

 \frac{d^2y}{dt^2} + f(t) y = 0

dove f(t) è una funzione periodica.[1]

Se il periodo è \pi l'equazione sipuò riscrivere utilizzando la serie di Fourier di f(t):

\frac{d^2y}{dt^2}+\left(\theta_0+2\sum_{n=1}^\infty \theta_n \cos(2nt)+\sum_{m=1}^\infty \phi_m \sin(2mt) \right ) y=0

Vi sono importanti casi particolari di questa equazione; in particolare l'equazione differenziale di Mathieu, l'equazione di Meissner e l''equazione differenziale di Whittaker-Hill:

\frac{d^2y}{dt^2} + [A + B\cos(2x)+C \cos(2x)]y=0

A seconda del comportamento di f(t) le soluzioni dell'equazione di Hill possono essere limitate oppure crescere esponenzialmente,[2] ciò rende l'equazione particolarmente significativa nello studio delle equazioni differenziali periodiche. La forma precisa delle soluzioni è descritta dalla teoria di Floquet.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ W. Magnus, Hill's equation, New York-London-Sydney, Interscience Publishers John Wiley & Sons, 1966.
  2. ^ Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica