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L'equazione di Ergun , ricavata dall'ingegnere chimico turco Sabri Ergun nel 1952 , descrive le perdite di carico lungo un reattore a letto fisso .
Tale equazione può essere scritta come:
d
P
d
z
=
−
G
ρ
g
c
D
p
(
1
−
ϕ
ϕ
3
)
[
150
(
1
−
ϕ
)
μ
D
p
+
1
,
75
G
]
{\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {G}{\rho g_{c}D_{p}}}\left({\frac {1-\phi }{\phi ^{3}}}\right)\left[{\frac {150\left(1-\phi \right)\mu }{D_{p}}}+1,75G\right]}
dove:
P
=
{\displaystyle P=}
pressione , espressa in [Pa] (SI ) oppure [lbf /ft²] (US )
z
=
{\displaystyle z=}
SI ) oppure [ft] (US )
G
=
ρ
u
=
{\displaystyle G=\rho u=}
SI ) oppure [lbm /ft²·h] (US )
ρ
=
{\displaystyle \rho =}
densità del fluido , espressa in [kg/m³] (SI ) oppure [lbm /ft³] (US )
u
=
{\displaystyle u=}
velocità superficiale , espressa in [m/s] (SI ) oppure [ft/h] (US )
g
c
=
{\displaystyle g_{c}=}
SI ) oppure 32,174 lbm ·ft/lbf ·s² (US )
D
p
=
{\displaystyle D_{p}=}
SI ) oppure [ft] (US )
ϕ
=
{\displaystyle \phi =}
grado di vuoto del letto
μ
=
{\displaystyle \mu =}
viscosità dinamica del fluido, espressa in [kg/m·s] (SI ) oppure [lbm /ft²·h] (US ).Se il fluido che attraversa il letto è un gas , l'unico parametro che cambia con la pressione lungo il letto è la densità del gas stesso. Operando in condizioni stazionarie, la portata massica entrante Q0 nel letto eguaglia la portata massica uscente Q dal letto, per cui:
Q
0
=
Q
{\displaystyle Q_{0}=Q}
ρ
0
v
0
=
ρ
v
{\displaystyle \rho _{0}v_{0}=\rho v}
con
v
0
{\displaystyle v_{0}}
v
{\displaystyle v}
legge dei gas perfetti si ha che:
v
=
v
0
(
P
0
P
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
{\displaystyle v=v_{0}\left({\frac {P_{0}}{P}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}
con
T
{\displaystyle T}
F
T
{\displaystyle F_{T}}
ρ
=
ρ
0
v
0
v
=
ρ
0
(
P
P
0
)
(
T
0
T
)
(
F
T
0
F
T
)
{\displaystyle \rho =\rho _{0}{\frac {v_{0}}{v}}=\rho _{0}\left({\frac {P}{P_{0}}}\right)\left({\frac {T_{0}}{T}}\right)\left({\frac {F_{T0}}{F_{T}}}\right)}
Andando a sostituire tale relazione nell'Equazione di Ergun si ottiene:
d
P
d
z
=
−
G
ρ
0
g
c
D
p
(
1
−
ϕ
ϕ
3
)
[
150
(
1
−
ϕ
)
μ
D
p
+
1
,
75
G
]
(
P
0
P
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
{\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {G}{\rho _{0}g_{c}D_{p}}}\left({\frac {1-\phi }{\phi ^{3}}}\right)\left[{\frac {150\left(1-\phi \right)\mu }{D_{p}}}+1,75G\right]\left({\frac {P_{0}}{P}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}
che si può semplificare, tenendo conto che i primi tre fattori del membro di destra sono costanti lungo il letto per condizioni di ingresso fissate, in:
d
P
d
z
=
−
β
0
(
P
0
P
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
=
−
β
0
(
1
y
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
{\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-\beta _{0}\left({\frac {P_{0}}{P}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)=-\beta _{0}\left({\frac {1}{y}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}
Dividendo per la pressione a monte del letto:
(
1
P
0
)
d
P
d
z
=
−
(
1
P
0
)
β
0
(
1
y
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{P_{0}}}\right){\frac {dP}{dz}}=-\left({\frac {1}{P_{0}}}\right)\beta _{0}\left({\frac {1}{y}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}
d
(
P
/
P
0
)
d
z
=
−
β
0
(
1
y
⋅
P
0
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
{\displaystyle {\frac {d\left(P/P_{0}\right)}{dz}}=-\beta _{0}\left({\frac {1}{y\cdot P_{0}}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}
d
y
d
z
=
−
β
0
(
1
y
⋅
P
0
)
(
T
T
0
)
(
F
T
F
T
0
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dz}}=-\beta _{0}\left({\frac {1}{y\cdot P_{0}}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}
Ipotizzando di essere in condizioni isoterme, gli ultimi due fattori del membro di destra si semplificano:
d
y
d
z
=
−
β
0
(
1
y
⋅
P
0
)
{\displaystyle {\frac {dy}{dz}}=-\beta _{0}\left({\frac {1}{y\cdot P_{0}}}\right)}
dalla quale infine è possibile ricavare il rapporto tra pressione finale e iniziale lungo il letto,
y
=
P
P
0
=
1
−
2
β
0
z
P
0
{\displaystyle y={\frac {P}{P_{0}}}={\sqrt {1-{\frac {2\beta _{0}z}{P_{0}}}}}}
H. Scott Fogler, "Elements of Chemical Reaction Engineering ", IV Edition, ed. Prentice Hall ![{\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {G}{\rho g_{c}D_{p}}}\left({\frac {1-\phi }{\phi ^{3}}}\right)\left[{\frac {150\left(1-\phi \right)\mu }{D_{p}}}+1,75G\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae51fac85996873060adca5019d38016b5c4d563)
![{\displaystyle {\frac {dP}{dz}}=-{\frac {G}{\rho _{0}g_{c}D_{p}}}\left({\frac {1-\phi }{\phi ^{3}}}\right)\left[{\frac {150\left(1-\phi \right)\mu }{D_{p}}}+1,75G\right]\left({\frac {P_{0}}{P}}\right)\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)\left({\frac {F_{T}}{F_{T0}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b895f78432562818c4c83c755d8646f161edacbb)
