Equazione del razzo di Ciolkovskij

L'equazione del razzo o di Ciolkovskij, cosiddetta dallo scienziato che per primo la derivò nel 1903, descrive il moto di corpi di massa variabile ed è alla base della propulsione spaziale; essa afferma che per la legge di conservazione della quantità di moto, un corpo può accelerare semplicemente espellendo parte della sua massa in senso opposto a quello in cui si vuole l'aumento di velocità.

L'espressione classica di questa equazione è:

$\Delta v = v_e \ln \frac {m_i} {m_f}$

dove:

• $\Delta v$ è l'incremento di velocità
• $v_e$ è la velocità equivalente di uscita dal propulsore, relativa al veicolo. La velocità equivalente differisce da quella relativa effettiva per la presenza del termine statico delle pressioni: infatti $v_e=u_e + \frac{(p_e-p_a)A_e}{\dot m}$, dove:$u_e$ è la velocità di efflusso dei gas relativa al veicolo. Nel caso di quello adattato (verosimile se il propulsore è operante nello spazio) si ha $v_e=u_e$
• $m_i$ è la massa totale iniziale
• $m_f$ è la massa totale finale

Questa equazione e le sue espressioni equivalenti, sono particolarmente importanti nella determinazione della massa di propellente necessaria ad una nave spaziale per eseguire una manovra di uno specifico $\Delta v$.

Essendo la velocità di efflusso equivalente relativa al veicolo uguale all'Impulso specifico ponderale per l'accelerazione gravitazionale a quota zero, si ha:$\Delta v = I_{\! sp} \, g_0 \ln \frac {m_0} {m_1}$

A volte il quoziente delle masse è conosciuto come rapporto di massa o mass ratio

$MR = \frac {m_1} {m_0}$

per cui

$\Delta v = I_{\! sp} \, g_0 \ln \frac {1} {MR}$

Derivazione dalla seconda legge della dinamica

L'equazione può essere facilmente ricavata come fece lo stesso Tsiolkovskij per la prima volta. Per la seconda legge della dinamica la forza agente su un veicolo (ovvero la spinta) è pari alla sua massa per l'accelerazione (o variazione di velocità):

$F = {m} \frac {dv} {dt}$

ma è anche uguale (in assenza di forze esterne agenti sul veicolo quali resistenza aerodinamica o gravità) alla velocità di variazione della quantità di moto, ovvero la velocità dei gas di uscita dal propulsore (−v_e) per il cambiamento di massa dovuto al consumo di combustibile più la forza risultante dalla differenza di pressione tra l'ugello e l'ambiente esterno:

$F=-v_e \frac {dm} {dt} + A_e(p_e-p_a)$

Introducendo la velocita di efflusso equivalente (o efficace):

$v_{eq} = v_e + \frac {(p_e - p_a)A_e} {\dot m}$

ed uguagliando le due espressioni:

$m \frac {dv} {dt} = -v_{eq} \frac {dm} {dt}$

da cui

$dv = -v_{eq} \frac {dm} {m}$

Integrando questa equazione tra le condizioni iniziali (prima dello "sparo") e quelle finali, si ottiene:

$\ v_f-v_i = v_{eq} \left[ \, \ln (m_i) - \ln (m_f) \right]$

cioè l'equazione cercata.

Si può notare come per ottenere un valore grande del Δv si possa agire teoricamente in direzioni diverse:

• grandi rapporti tra massa iniziale e finale (cioè grande consumo di combustibile per la manovra)
• valore elevato della velocità di uscita (ovvero grande impulso specifico).
• una miscela dei due punti precedenti

Il primo caso è quello utilizzato in grandi razzi come ad esempio il Saturn V mentre la seconda soluzione è tipica della propulsione elettrica con bassissime masse espulse ma enormi impulsi specifici.

Estensioni relativistiche

Dalla teoria classica del razzo, è stata sviluppata una estensione soggiacente alla relatività ristretta nota come teoria del razzo relativistico, originariamente formulata da Ackeret.

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