Equazione Fokker-Planck

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Una soluzione ad un'equazione di Fokker-Planck monodimensionale, con termine di diffusione. La condizione iniziale è una distribuzione delta di Dirac in x=1: la distribuzione si allarga e sposta il centro (drift) ad x=0.

L'equazione di Fokker-Planck descrive l'evoluzione temporale della funzione di densità di probabilità della posizione di una particella, e può essere generalizzata ad altri enti osservabili.[1] Prende il nome da Adriaan Fokker e da Max Planck ed è anche conosciuta come equazione in avanti (o prospettica) di Kolmogorov.

Il primo impiego dell'equazione di Fokker-Planck fu la descrizione statistica del moto browniano di una particella in un fluido: in una dimensione spaziale x, l'equazione di Fokker-Planck per un processo con termine di deriva D1(x,t) e termine di diffusione D2(x,t) è:

\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D_{2}(x,t)f(x,t)\right]

Più in generale, la probabilità tempo-dipendente della distribuzione potrebbe dipendere da un set di \ N macrovariabili \ x_i. La forma generale dell'equazione di Fokker-Planck è quindi:

\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],

dove D^1 è il vettore di direzione e D^2 il tensore di diffusione, quest'ultimo dei quali risulta dalla presenza della forza stocastica.

Relazioni tra equazioni con differenziale stocastico[modifica | modifica sorgente]

L'equazione di Fokker-Planck può essere utilizzata per calcolare la probabilità delle densità delle equazioni differenziali stocastiche. Considerando l'equazione differenziale di Itō

\mathrm{d}\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t) \,\mathrm{d}t + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\, \mathrm{d}\mathbf{W}_t,

dove \mathbf{X}_t \in \mathbb{R}^Nè lo stato e \mathbf{W}_t \in \mathbb{R}^M è un processo di Wiener M-dimensionale standard. Se la distribuzione iniziale è \mathbf{X}_0 \sim f(\mathbf{x},0), allora l'ampiezza di probabilità f(\mathbf{x},t) dello stato \mathbf{X}_t è data da un'equazione di Fokker-Planck con direzione e termini di diffusione

D^1_i(\mathbf{x},t) = \mu_i(\mathbf{x},t)
D^2_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2} \sum_k \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{kj}^\mathsf{T}(\mathbf{x},t).

Similmente, un'equazione di Fokker-Planck può essere derivata per l'equazione differenziale stocastica di Stratonovich. In questo caso, i termini di direzione provocati dal suono si rivelano se la lunghezza del suono è stato-dipendente.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Un processo di Wiener scalare standard è generato dall'equazione stocastica differenziale

\ \mathrm{d}X_t = \mathrm{d}W_t.

Ora il termine di direzione è zero e il coefficiente di diffusione è 1/2 e l'equazione di Fokker-Planck corrispondente è


\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2},

che è la forma più semplice di equazione di diffusione.

Caso del moto browniano[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di una particella che si muova nel quadro dell'equazione di Smoluchowski (che concerne le particelle tali che  \gamma v\gg m  a , tipicamente le molecole o gli oggetti di massa "trascurabile" (molecole atmosferiche, proteine in biologia... ):

\dot{X}+\frac{F(X)}{\gamma}=\sigma B

ove B è un rumore bianco, \textstyle \gamma il coefficiente di viscosità e F(x) un campo di forze. Se p(x,t) è la probabilità di trovare la particella nel punto x all'istante t, per applicazione del lemma di Itō si ottiene:

 \frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=\frac{\sigma^2}{2\gamma^2} \triangle p (x,t) +\frac{F(x)}{\gamma}.\nabla p(x,t)

ove \textstyle \frac{\sigma^2}{2\gamma^2}=D è il coefficiente di diffusione.

Una particolare equazione di Fokker-Planck permette, con delle condizioni a contorno e nell'origine adeguate, di studiare il movimento browniano di una particella in un campo di forze.

Considerazioni di calcolo[modifica | modifica sorgente]

Il moto browniano segue l'equazione di Langevin, che può essere risolta per molte differenti forzanti stocastiche, che risultano essere mediate (il metodo Monte Carlo, insieme canonico in dinamica molecolare). Tuttavia, al posto di questo approccio intensivo di calcolo, si può utilizzare l'equazione di Fokker-Planck e considerare f(\mathbf{v}, t), ossia la funzione di probabilità di densità di una particella che ha una velocità nell'intervallo (\mathbf{v}, \mathbf{v} + d\mathbf{v}), quando inizia il suo moto con \mathbf{v}_0 a tempo=0.

Soluzione[modifica | modifica sorgente]

Essendo un'equazione differenziale alle derivate parziali, l'equazione di Fokker-Planck può essere risolta analiticamente solo in casi particolari. Un'analogia formale di questa equazione con l'equazione di Schrödinger consente di usare un operatore tecnico speciale conosciuto dalle meccaniche quantiche per la sua soluzione in un certo numero di casi. In molte applicazioni, si è solo interessati allo stato costante di probabilità della distribuzione  f_0(x), che può essere trovata da \dot{f}_0(x)=0. Il calcolo dei tempi di passaggio iniziale principale e le probabilità di scissione possono essere ridotte alla soluzione di un'equazione differenziale ordinaria che è intimamente legata all'equazione di Fokker-Planck.

Particolari casi con soluzione nota e inversione[modifica | modifica sorgente]

In Matematica finanziaria nel contesto della modellizzazione dello smile di volatilità per opzioni tramite modelli di volatilità locale, si presenta l'esigenza di derivare il coefficiente di diffusione {\sigma}(\mathbf{X}_t,t) coerente con una curva di densità dedotta dai prezzi di mercato delle opzioni. Si tratta quindi di invertire l'equazione di Fokker-Plank: data la densità f(x,t) dedotta dal mercato per il sottostante X dell'opzione, si desidera ricavare la volatilità locale {\sigma}(\mathbf{X}_t,t) coerente con f. Questo è un problema inverso che è stato risolto da Dupire (1994, 1997) in generale in forma non-parametrica, e da Brigo e Mercurio (2002, 2003) in forma parametrica tramite l'introduzione di una particolare volatilità locale {\sigma}(\mathbf{X}_t,t) coerente con una soluzione dell'equazione di Fokker-Plank data da una mistura di densità. Si vedano anche i testi di Fengler (2008), Gatheral (2008) e Musiela e Rutkowski (2008).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Leo P. Kadanoff, Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization, World Scientific, 2000, ISBN 981-02-3764-2.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Hannes Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
  • Crispin W. Gardiner, "Handbook of Stochastic Methods", 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3-540-20882-8.
  • Dupire, B. (1994) Pricing with a Smile. Risk Magazine, January, 18-20.
  • Dupire, B. (1997). Pricing and Hedging with Smiles. Mathematics of Derivative Securities. Edited by M.A.H. Dempster and S.R. Pliska, Cambridge University Press, Cambridge, 103-111.
  • Damiano Brigo, Fabio Mercurio, Francesco Rapisarda. Smile con volatilità incerta, Risk Italia (2004), Ottobre
  • Brigo, D, Mercurio, F, Lognormal-mixture dynamics and calibration to market volatility smiles, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2002, Vol: 5, Pages: 427 - 446
  • Brigo, D, Mercurio, F, Sartorelli, G, Alternative asset-price dynamics and volatility smile, QUANT FINANC, 2003, Vol: 3, Pages: 173 - 183, ISSN: 1469-7688
  • Fengler, M. R. (2008). Semiparametric Modeling of Implied Volatility, 2005, Springer Verlag.
  • Gatheral, J. (2008). The Volatility Surface. Wiley and Sons.
  • Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingale Methods in Financial Modelling, 2008, 2nd Edition, Springer-Verlag.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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