Emisferi di Magdeburgo

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Gli emisferi originali e la pompa a vuoto di von Guericke in esposizione al Deutsches Museum.

Gli emisferi di Magdeburgo sono una coppia di emisferi di rame con bordi perfettamente combacianti. Quando vengono incastrati tra loro e viene aspirata via l'aria, al loro interno si forma il vuoto e non possono essere separati da due opposte schiere di cavalli. Furono progettati nel 1650 da Otto von Guericke, che con essi volle fornire una dimostrazione della macchina pneumatica che aveva inventato e del concetto di pressione atmosferica (il primo vuoto creato artificialmente fu prodotto alcuni anni prima da Evangelista Torricelli e aveva ispirato von Guericke nella realizzazione della prima pompa a vuoto al mondo). Gli emisferi originali sono conservati al Deutsches Museum di Monaco di Baviera.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Gli emisferi hanno un diametro di circa 60 centimetri. Uno di essi ha un tubo con una valvola di chiusura, che va collegato alla pompa. Nel momento in cui l'aria viene estratta e la valvola viene chiusa, il tubo può essere staccato e gli emisferi restano saldati tra loro grazie alla pressione atmosferica. La forza che li tiene fermi è uguale all'area descritta dal loro bordo (che per un cerchio di diametro di 50 centimetri vale circa 0,2 m²), moltiplicata per la differenza di pressione tra l'interno e l'esterno (pari alla pressione atmosferica, che su una superficie di 1 m² esercita una forza di circa 10000 kgf; nel caso in esame sono in gioco, pertanto, circa 2000 kgf su una superficie di circa 0,2 m²); ciò comporta una forza di circa 20000 N (essendo kgf pari a circa 10 N), l'equivalente della forza necessaria per trascinare una autovettura o un piccolo elefante.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di questo esperimento richiede l'utilizzo del calcolo integrale. I due emisferi uniti sono paragonabili ad una sfera cava con all'interno il vuoto ed immersa in un fluido (l'aria). Essa è sottoposta ad una compressione uniforme. La differenza di pressione tra l’interno e l’esterno del guscio sferico crea una forza che tiene unite le due parti. Naturalmente solo le componenti normali al piano di contatto tra i due emisferi agiscono attivamente per tenerli uniti. Dalla fisica sappiamo che p=F/S, dove “F” è la forza in Newton [N], “p” la pressione in Pascal [Pa] e “S” l’area su cui agisce la forza in metri quadrati [m2]. Noi conosciamo “p” e “S” e vogliamo conoscere “F”. Imponendo dF=\Delta p dS e considerando solo le componenti verticali, otteniamo  dF_z = \Delta p dS_z con  dS_z=cos{\theta} dS. A questo punto possiamo scrivere:

F_z = \iint_S \Delta p \, dS_z = \Delta p \iint_S \cos{\theta} \, dS
Spherical coordinates.png

Passando dalle coordinate cartesiane a quelle sferiche, abbiamo che  dS=Jd \theta d \phi, dove J è lo Jacobiano ed in questo caso è pari a R^{2} sin{\theta} con “R” il raggio della sfera. Pertanto otteniamo:

F_z = \Delta p \iint_S \cos{\theta} \, dS = \Delta p \int_0^{2 \pi} \, d \phi \int_0^{\pi /2} R^{2} sin{\theta} cos{\theta} \, d \theta

Portando fuori le costanti e ricorrendo alla formula di duplicazione del seno, possiamo scrivere:

F_z = \frac{R^{2} \Delta p}{4} \int_0^{2 \pi} \, d \phi \int_0^{\pi /2} sin{2 \theta} \, d 2 \theta = \frac{R^{2} \Delta p}{4} 2 \pi  [-\cos{\pi}+\cos{0}] = \pi R^{2} \Delta p

ovvero il prodotto tra la differenza di pressione e l’area del massimo cerchio, la cui circonferenza coincide con i punti di contatto tra i due emisferi. Se, ad esempio, consideriamo due emisferi di 10 cm di raggio e, dopo averli uniti, riusciamo a portare la pressione interna a 0,2 atm, avremo:

F_z = \pi R^{2} \Delta p = \pi*0.1^{2}*0.8*1.013*10^{5} \tilde{=} 2545 N

i quali corrispondono a circa 260 kgF , che non sono pochi.

L'esperimento[modifica | modifica wikitesto]

Illustrazione di Gaspar Schott sull'esperimento degli emisferi di Magdeburgo

Von Guericke eseguì l'esperimento degli emisferi l'8 maggio 1654 a Ratisbona alla presenza del Reichstag e dell'imperatore Ferdinando III; in quell'occasione vennero impiegati 30 cavalli, divisi in due gruppi di 15, che non riuscirono a dividere gli emisferi finché non fu riaperta la valvola ed eliminato così il vuoto. Nel 1656 fu ripetuto con 16 cavalli nella sua città natale, Magdeburgo, di cui era borgomastro. Gaspar Schott fu il primo a descrivere l'esperimento nel libro Mechanica Hydraulico-Pneumatica del 1657. Nel 1663 si tenne un'altra dimostrazione con 24 cavalli a Berlino, a cui assistette Federico Guglielmo I di Brandeburgo.

L'esperimento fu riportato dallo stesso von Guericke nella sua opera Experimenta nova, ut vocant, Magdeburgica de vacuo spatio del 1672.

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