Moltiplicazione di matrici

Il disegno mostra il caso in cui A è 4 × 2 e B è 2 × 3, e si voglia calcolare l'elemento (C)₁₂ = (AB)₁₂ della matrice prodotto C = A x B, di dimensioni 4 x 3:
$(C)_{12} = \sum_{r=1}^2 a_{1r}b_{r2} = a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}$

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la moltiplicazione di matrici è il prodotto righe per colonne tra due matrici, possibile sotto certe condizioni, che dà luogo ad un'altra matrice. Se una matrice rappresenta una applicazione lineare, il prodotto fra matrici è la traduzione della composizione di due applicazioni lineari. Quindi se due matrici 2 x 2 rappresentano ad esempio due rotazioni nel piano di angoli α e β, il loro prodotto è definito in modo tale da rappresentare una rotazione di angolo α + β.

Definizione

Sia K un campo. Siano date una matrice A di dimensione m x n ed una seconda matrice B di dimensioni n x p a valori in K. Siano $a_{ij}$ gli elementi di A e $b_{ij}$ gli elementi di B. Si definisce il prodotto matriciale di A per B la matrice C = A x B a valori in K e di dimensioni m x p i cui elementi $c_{ij}$ sono dati da:

$c_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}$.

per ogni valore di riga i e di colonna j.

Due matrici possono essere moltiplicate fra loro solo se il numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda, ed il prodotto tra due matrici non è commutativo.

Una matrice può essere moltiplicata con se stessa solo se è quadrata. In questo caso, il prodotto $A\times A$ si denota con $A^2$. Più in generale, la potenza $n$-esima di una matrice è:

$A^n = \begin{matrix} \underbrace{A\times A\cdots A} \\ n \end{matrix}$

dove $n$ è un numero naturale.

Un'altra definizione informale della moltiplicazione matriciale, atta a permetterne una più rapida e immediata memorizzazione, è "moltiplicazione riga per colonna", infatti, per ottenere l'elemento della i-esima riga e j-esima colonna della matrice prodotto basta porre un indice sulla riga i della prima matrice, l'altro sulla colonna j della seconda e moltiplicare gli elementi indicati, quindi scorrere di un posto con le dita e moltiplicare, fino a raggiungere la fine della colonna e della riga, infine sommare i vari prodotti ottenuti.

Proprietà

• La moltiplicazione fra matrici è generalmente non commutativa (in altre parole, AB e BA sono due matrici diverse).
• La moltiplicazione fra matrici è distributiva rispetto alla somma. In altre parole,

A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

• Per ogni scalare k vale:

k(AB) = (kA)B = A(kB)

• La moltiplicazione fra matrici è associativa:

A(BC) = (AB)C

• Le matrici aventi valori in un anello (ad esempio, l'anello dei numeri interi, razionali, reali o complessi) con le operazioni di somma e prodotto formano un altro anello. Per quanto detto sopra, questo anello è generalmente non commutativo anche se quello di partenza lo è.
• L'elemento neutro per l'operazione di moltiplicazione fra matrici è la matrice identica I. In particolare, se A è quadrata con lo stesso numero di righe di I:

AI = IA = A

• La matrice nulla 0 con n righe annulla qualsiasi altra matrice. In particolare, se A è quadrata con n righe, abbiamo

0A = A0 = 0

• Una matrice quadrata A è invertibile se esiste un'altra matrice B tale che AB = BA = I dove I è la matrice identità con lo stesso numero di righe di A. Molte matrici non sono invertibili. In altre parole, anche se l'insieme dei valori di partenza è un campo, le matrici non formano un campo. Ad esempio la matrice seguente non è invertibile.

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$

• Algebra delle matrici, alcune proprietà significative del prodotto righe per colonne :

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \$

$(AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T} \$

Prodotto di una matrice per un vettore

Una matrice con una sola riga, cioè di dimensione $1 \times n$, è un vettore riga. Analogamente, una matrice con una sola colonna, cioè di dimensione $m \times 1$ è un vettore colonna. Nell'operazione di moltiplicazione questi due oggetti si comportano in modo differente.

Siano $A = (a_{ij})$ una matrice $m \times n$ e $\mathbf v = \{v_i\}$ un vettore colonna $n \times 1$. Il prodotto di A per il vettore v è il prodotto di matrici:

$A \mathbf v = \mathbf c$

Le componenti di c sono:

$c_i = \sum_{j=1}^n a_{ij}v_{j} = a_{i1}v_{1} + a_{i2}v_{2} + \cdots + a_{in}v_{n}$

Algoritmo

Un algoritmo in C per la moltiplicazione $Matrice \times vettore$ è

//Moltiplicazione matrice × vettore

   /* RM = numero di righe della matrice */
   /* CM = numero di colonne della matrice (uguale al numero di righe del vettore) */
   /* M = matrice [RM] × [CM] */
   /* V = vettore [CM]        */
   /* il vettore risultato sarà VR [RM] con stesso numero di righe della matrice */
   /* poniamo VR [RM] sia inizialmente posto con tutti i valori a zero. */
   for (i=0; i<RM; i++)       /* scandisco le righe con l'indice i */
       for (j=0; j<CM; j++)   /* e le colonne con j  */
           VR[i] = VR[i] + M[i][j] * V[j];

Questo prodotto è ampiamente usato in algebra lineare perché descrive una applicazione lineare. Ad esempio, il prodotto

$\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\alpha - y\sin\alpha\\ x\sin\alpha + y\cos\alpha\\ \end{bmatrix}$

rappresenta una rotazione di angolo $\alpha$ nel piano cartesiano.

In alcuni casi può essere utile effettuare il prodotto $vettore riga \times Matrice$: il risultato è un altro vettore riga.

Prodotto di una matrice per uno scalare

La moltiplicazione di una matrice $A =(a_{i,j})$ per uno scalare $r$, cioè un elemento dell'anello cui appartengono gli $a_{i,j}$, è ottenuta moltiplicando ogni elemento di $A$ per lo scalare:

$rA = (ra_{i,j}) \$

Se l'anello di partenza non è commutativo, questa viene indicata come moltiplicazione sinistra, e può differire dalla moltiplicazione destra:

$Ar = (a_{i,j}r) \$

Proprietà

• Se l'anello di partenza è commutativo (ad esempio se è l'anello dei numeri interi, razionali, reali o complessi) le moltiplicazioni sinistra e destra sono equivalenti e si parla solo di moltiplicazione di una matrice con uno scalare.
• Se l'anello di partenza è un campo, ad esempio quello dei numeri razionali, reali o complessi, lo spazio delle matrici m per n con le operazioni di somma e prodotto per scalare formano uno spazio vettoriale.
• Se l'anello di partenza è un anello commutativo, lo spazio delle matrici m per n con le operazioni di somma e di prodotto per scalare forma un modulo.

Se l'anello di partenza non è commutativo, ad esempio se è l'anello dei quaternioni, le due moltiplicazioni non sono equivalenti. Ad esempio:

$i\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & k \\ \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -k \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{bmatrix}i$

Costruzioni alternative

Sono stati definiti nel tempo altri tipi di prodotto tra matrici, meno fortunati in quanto a utilizzo dell'usuale prodotto righe per colonne. In particolare si può nominare il prodotto di Hadamard o prodotto puntuale, in cui il prodotto di $A=(a_{ij})_{ij}$ e $B=(b_{ij})_{ij}$ è dato da $AB=(a_{ij} \cdot b_{ij})_{ij}$. Ad esempio:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3 & 0 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}$.

Un'altra costruzione è data dal prodotto di Kronecker, che trova applicazioni nel calcolo tensoriale, dato da

$AB = \begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{bmatrix}.$

espressa sotto forma di matrice a blocchi, in cui ogni blocco $ij$-esimo è dato dalla matrice $B$ moltiplicata per lo scalare $a_{ij}$.

Esempi

• Una matrice $2\times 3$ moltiplicata per $3 \times 3$ dà una matrice $2\times 3$

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} =$

1ª riga della matrice risultato:

$C_{11} = [(1 \times 1) + (1 \times 2) + (2 \times 0)] = 3$

$C_{12} = [(1 \times 1) + (1 \times 5) + (2 \times -2)] = 2$

$C_{13} = [(1 \times 1) + (1 \times 1) + (2 \times 1)] = 4$

2ª riga della matrice risultato:

$C_{21} = [(0 \times 1) + (1 \times 2) + (-3 \times 0)] = 2$

$C_{22} = [(0 \times 1) + (1 \times 5) + (-3 \times -2)] = 11$

$C_{23} = [(0 \times 1) + (1 \times 1) + (-3 \times 1)] = -2$

Risultato $2\times 3$:

$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4\\ 2 & 11 & -2\\ \end{bmatrix}$

• Si consideri il prodotto:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \times 1 + 2 \times 0 + 0 \times -1) \\ (3 \times 1 + -1 \times 0 + 4 \times -1) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$

Il risultato di questa operazione è un altro vettore colonna, di tipo $m \times 1$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9
• Marco Abate; Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 88-386-6289-4.
• Edoardo Sernesi, Geometria 1, 2^a ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1989. ISBN 88-339-5447-1.

Voci correlate

• Teorema di Binet

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (IT) Programma parallelo per moltiplicare le matrici in MPI su parallelknoppix.info

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