E6 (matematica)

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In matematica, E6 è la sigla che contraddistingue un gruppo di Lie e la sua algebra di Lie \mathfrak{e}_6. Il gruppo E6 è uno dei cinque gruppi di Lie semplici eccezionali e uno dei gruppi semplicemente allacciati.

E6 ha rango 6 e dimensione 78. Il suo centro è il gruppo ciclico Z3. Il suo gruppo di automorfismo esterno è il gruppo ciclico Z2. La sua rappresentazione fondamentale ha 27 dimensioni (complesse) e la sua rappresentazione duale, che non è equivalente alla precedente, ha anch'essa 27 dimensioni.

Nella fisica delle particelle E6 gioca un ruolo di rilievo in alcune grandi teorie unificate.

Algebra[modifica | modifica sorgente]

Diagramma di Dynkin[modifica | modifica sorgente]

Diagramma di Dynkin dell'E6

Radici di E6[modifica | modifica sorgente]

Sebbene generino uno spazio a sei dimensioni, possono essere considerati meglio e in modo più simmetrico come vettori di un sottospazio a sei dimensioni di uno spazio di dimensione nove:

(1,-1,0;0,0,0;0,0,0), (-1,1,0;0,0,0;0,0,0),
(-1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,-1;0,0,0;0,0,0),
(0,1,-1;0,0,0;0,0,0), (0,-1,1;0,0,0;0,0,0),
(0,0,0;1,-1,0;0,0,0), (0,0,0;-1,1,0;0,0,0),
(0,0,0;-1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,-1;0,0,0),
(0,0,0;0,1,-1;0,0,0), (0,0,0;0,-1,1;0,0,0),
(0,0,0;0,0,0;1,-1,0), (0,0,0;0,0,0;-1,1,0),
(0,0,0;0,0,0;-1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,-1),
(0,0,0;0,0,0;0,1,-1), (0,0,0;0,0,0;0,-1,1),

Tutte le 27 combinazioni di (\bold{3};\bold{3};\bold{3}) dove \bold{3} è una delle terne (\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{1}{3}), (-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3})

Tutte le 27 combinazioni of (\bold{\bar{3}};\bold{\bar{3}};\bold{\bar{3}}) dove \bold{\bar{3}} è una delle terne (-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}), (\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}), (\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})

Radici semplici

(0,0,0;0,0,0;0,1,-1)
(0,0,0;0,0,0;1,-1,0)
(0,0,0;0,1,-1;0,0,0)
(0,0,0;1,-1,0;0,0,0)
(0,1,-1;0,0,0;0,0,0)
(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3};-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3};-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})

Gruppo di Weyl/Coxeter[modifica | modifica sorgente]

Il suo gruppo di Weyl/Coxeter è il gruppo di simmetria del politopo E6.

Matrice di Cartan[modifica | modifica sorgente]


\begin{pmatrix}
2&-1&0&0&0&0\\
-1&2&-1&0&0&0\\
0&-1&2&-1&-1&0\\
0&0&-1&2&0&0\\
0&0&-1&0&2&-1\\
0&0&0&0&-1&2
\end{pmatrix}


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