Dominio d'integrità

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In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con unità tale che 0 ≠ 1 in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non-nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello (A;+,\cdot) è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:

  • a\cdot b=b\cdot a \ \ \forall a,b \in A
  • a\cdot b=0 \Rightarrow a=0\ \ \textrm{oppure}\ \ b=0.

La seconda legge viene detta legge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo {0} è primo, o come sottoanello di un qualche campo.

La condizione che 0≠1 serve all'unico scopo di escludere l'anello banale {0} con un solo elemento.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Domini d'integrità[modifica | modifica wikitesto]

  • L'esempio tipico è l'anello Z degli interi.
  • Ogni campo è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integrità artiniano è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono i campi finiti.
  • L'anello D[x] dei polinomi in x a coefficienti in un dominio di integrità D è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello Z[x] dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello R[x, y] dei polinomi in due variabili a coefficienti reali.
  • L'insieme di tutti i numeri reali della forma a + b√2 con a e b interi è un sottoanello di R e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello dei numeri complessi della forma a + bi con a e b interi (gli interi gaussiani).
  • Gli interi p-adici.
  • Se U è un sottoinsieme aperto connesso del piano complesso C, allora l'anello H(U) delle funzioni olomorfe f : U -> C è un dominio d'integrità.
  • Se A è un anello commutativo e P è un ideale in A, allora l'anello quoziente A/P è un dominio d'integrità se e solo se P è un ideale primo.

Anelli che non sono domini d'integrità[modifica | modifica wikitesto]

  • Il gruppo ciclico finito con n elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se n è un numero primo, questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece n non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché n non è primo esistono a<n e b<n tali che n = ab, e tale uguaglianza nel gruppo diventa 0 = ab, con a e b diversi da zero.
  • Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici n x n generalmente non è commutativo.

Campo delle frazioni[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi campo dei quozienti.

Se A è un dominio d'integrità, il più piccolo campo Quot(A) che contiene A come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di A.

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle coppie del prodotto cartesiano di A, scritte nella forma a/b, con a e b in A e b ≠ 0, tramite la relazione di equivalenza a/b ~ c/d se e solo se ad=bc e munendolo delle operazioni

a/b+c/d=(ad+bc)/bd
(a/b)(c/d)=ac/bd.

Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui 4/3 e 8/6 sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

Altre proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un dominio d'integrità.

  • Se a e x sono due elementi di A tali che ax = a e a è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se a non è invertibile, e ottenere x = 1: infatti abbiamo a(x - 1) = 0 e quindi x = 1 perché A è un dominio d'integrità.
  • La caratteristica di A è zero o un numero primo.
  • Se A ha caratteristica prima p, allora f(x) = x p definisce un omomorfismo fra anelli iniettivo f : A -> A, detto omomorfismo di Frobenius.

Divisibilità, elementi primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in Z: in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in Z.

Divisibilità[modifica | modifica wikitesto]

Se a e b sono elementi di un anello commutativo A, diciamo che a divide b o a è un divisore di b o b è un multiplo di a se e solo se esiste un elemento x in A tale che ax = b. In questo caso scriviamo a|b. Abbiamo le seguenti proprietà:

  • se a|b e b|c, allora a|c;
  • se a divide b, allora a divide ogni multiplo di b;
  • se a divide due elementi, allora a divide anche la loro somma e la loro differenza.

Gli elementi che dividono 1 sono le unità di A, e sono precisamente gli elementi invertibili di A. Le unità dividono ogni altro elemento.

Se a|b e b|a, allora diciamo che a e b sono elementi associati; a e b sono associati se e solo se esiste un'unità u tale che au = b.

Elementi primi e irriducibili[modifica | modifica wikitesto]

Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da Z ad un anello commutativo A qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in Z possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.

  • Un elemento a di A è irriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità.
  • Un elemento p diverso da zero di A è primo se p|ab implica p|a oppure p|b, per ogni a e b in A.

Le due definizioni coincidono su Z: un numero n è irriducibile (o primo) se e solo se n oppure -n è un numero primo.

Se A è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che p = ab dove a e b sono elementi di A. Allora p divide ab. Quindi p|a oppure p|b perché p è primo. Supponiamo p|a, cioè a = pq. Quindi p = pqb, ovvero p(1 - qb) = 0. Poiché A è un dominio di integrità e p non è lo zero, abbiamo qb = 1 e quindi b è un'unità. Quindi p è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se A è un dominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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