Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni

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In teoria della probabilità, la disuguaglianza di Boole, nota anche come limite per l'unione, afferma che per ogni collezione finita o numerabile di eventi, la probabilità che accada almeno uno degli eventi è minore o uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Questa disuguaglianza viene generalizzata da due disuguaglianze di Bonferroni.

Disuguaglianza di Boole[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un insieme finito o numerabile di eventi A1, A2, A3, ... . Per esso vale la disuguaglianza

P\left(\bigcup_{i} A_i\right) \leq \sum_i P\left(A_i\right)

Disuguaglianze di Bonferroni[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di collezioni finite di eventi, la precedente disuguaglianza può venire generalizzata nelle cosiddette disuguaglianze di Bonferroni le quali forniscono estremi superiori e inferiori alla probabilità per l'unione di tali eventi.

Introduciamo le seguenti quantità:

S_1 := \sum_{i=1}^n P(A_i)~,
S_2 := \sum_{i<j} P(A_i \cap A_j)~,

e per 2 < kn,

S_k := \sum P(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} )~,

dove si intende che la somma sia da effettuare sopra tutte le k-uple di interi i_1,i_2,\cdots,i_k soddisfacenti i_1< i_2< \cdots < i_k.

Per gli interi dispari k ≥ 1 si dimostra che

P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j~,

mentre per gli interi pari k ≥ 2

P\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j~.

La disuguaglianza di Boole si ottiene come caso particolare relativo a k = 1.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

(EN) Disuguaglianze di Boole e di Bonferroni in PlanetMath.

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