Disuguaglianza di riarrangiamento

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La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell'osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo (risp. minimo) quando le componenti dei vettori sono ordinate nello stesso modo (risp. in modo opposto).

Se le componenti dei vettori a e b sono

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n
b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n

allora

a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n

è il valore massimo che può assumere il prodotto scalare fra i due vettori (quando le componenti sono ordinate nello stesso modo) e

a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \cdots + a_n b_1

è il valore minimo che lo stesso può assumere.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Procediamo per assurdo: supponiamo che il valore massimo che può assumere il prodotto scalare non si possa ottenere con le componenti dei vettori a e b ,ordinante nello stesso modo:

a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n
b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n

Poniamo:a_p \ge \ a_m e :b_p \le \ b_m (considerando le corrispondenze:a_a = a_1 ,a_b = a_2... e b_a = b_1 ,b_b = b_2... )

\sum_{k=1}^n a_k b_k \le \ \sum_{k \not\equiv \ m , p }^n a_k b_k + a_p b_m + a_m b_p

molti elementi della prima serie si annullano con tutti gli elementi della seconda:

a_p b_p + a_m b_m \le \ a_p b_m + a_m b_p
a_p(b_m - b_p) + a_m(b_p - b_m) \ge \ 0
a_p(b_m - b_p) - a_m(b_m - b_p) \ge \ 0
(a_p - a_m)(b_m - b_p) \ge \ 0

Questa disugualianza è sempre vera in base alle condizioni iniziali a_p \ge \ a_m e b_p \le \ b_m

Questo dimostra che non è possibile maggiorare con un semplice scambio il prodotto a_n b_n quando le componenti a e b non sono ordinate allo stesso modo.

La dimostrazione andrebbe conclusa mostrando che per ogni catena di scambi maggiore di 2 non è possibile la maggiorazione.

Uso[modifica | modifica sorgente]

Questa disuguaglianza può essere usata per dimostrarne alcune più complesse come la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica, la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la Disuguaglianza di Chebyshev sulla somma.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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